Математическая энциклопедия - продолжаемость решений дифференциальных уравнений

свойство решений обыкновенных дифференциальных уравнений быть продолженными на больший интервал независимого переменного. Пусть

(1)

решение системы

(-2)

Решение , системы (2) наз. продолжением решения (1), если и ,

.

Пусть функция

определена в области и . Решение (1) наз. неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вперед (вправо), неограниченно продолжаемым назад (влево)), если существует его продолжение, определенное на оси (соответственно на полуоси , на полуоси t0). Решение (1) наз. продолжаемым вперед (вправо) до границы Г области G, если существует его продолжение , обладающее свойством: для любого компакта найдется значение t=tF, t0<tF<t+, такое, что точка (tF,y(tF)).не содержится в F. Аналогично определяется продолжаемость назад (влево) до границы Г. Решение, к-рое нельзя продолжить, наз. непродолжаемым.

Если функция f(t, x).непрерывна в области G, то всякое решение (1) системы (2) может быть продолжено вперед (назад) либо неограниченно, либо до границы Г. Другими словами, всякое решение системы (2) может быть продолжено до нопродолжаемого решения. Если частные производные

(3)

непрерывны в области G, то такое продолжение единственно.

Интервал J наз. максимальным интервалом существования решения системы (2), если его нельзя продолжить на больший интервал. Для любого решения линейной системы

с непрерывными на интервале J коэффициентами а ij(t) и правыми частями , максимальный интервал существования решения совпадает с J. Для решений нелинейных систем максимальный интервал

существования может быть разным для разных решений, и его отыскание трудная задача. Напр., для решения задачи Коши

имеет место

при x0<0,

при x0>0,

при x0=0.

Достаточные условия, при к-рых можно указать максимальный интервал существования решения, дает, напр., теорема Уинтнера: пусть функция f(t, x).непрерывна при и в этой области выполняется оценка

где L(r) - непрерывная при функция, L(r).>0 и

тогда максимальный интервал существования любого решения системы (2) совпадает с J.

Эта теорема справедлива и в том случае, когда J=. Большой интерес представляют достаточные условия неограниченной продолжаемости решений. Напр., если функция f(t, x).и ее частные производные (3) непрерывны при и при этих значениях t, x выполняются оценки

то решение системы (2) такое, что x(t0)=x0, существует при для любого . Пусть рассматривается задача Коши

(4)

для автономной системы, причем функция f(х).непрерывно дифференцируема в области . Если при возрастании tфазовая траектория решения x=j(t).задачи (4) остается в компактном подмножестве , то это решение можно продолжить на полуось

Лит.:[l] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [2] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [3] Немы ц кий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.Л., 1949; [4] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [5] Xартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [6] Чезари Л., Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1964; [7] Wintnеr A., "Amer. J. Math.", 1945, v. 67, p. 277-84.

М. В. Федорюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985