Математическая энциклопедия - проекционный спектр

индексированное направленным множеством( А, >) семейство симплициальных комплексов такое, что для каждой пары индексов , для к-рых a' >a, определено симплициальное отображение (проекция) комплексов Na' на комплекс Na. При этом требуется, чтобы , когда a ">a'>a (условие транзитивности). Тогда и говорят, что задан проекционный спектр , или просто S= {Na, }. Это понятие принадлежит П. С. Александрову (см. [2]); оно, по сути, эквивалентно общему понятию обратной системы, или обратного спектра (см. Спектр в категории). Действительно, каждый комплекс Na. естественным образом превращается в частично упорядоченное множество симплексов этого комплекса, а следовательно в топологическое T0 -пространство Na. При этом проекции становятся непрерывными отображениями. Обратно, если {Na, } - обратная система из топологических T0 -пространств и непрерывных проекций , то каждое T0 -пространство Na. естественно превращается в частично упорядоченное множество, а это частично упорядоченное множество реализуется в виде симплициального комплекса Na. При этом непрерывные проекции становятся симплициальными отображениями. Таким образом, П. с.это в точности обратная система из топологических T0 -пространств (см. [3]).

Понятия "П. с." (а следовательно,. и обратной системы пространств) и нерва системы множеств (см. ниже) оказали огромное влияние не только на развитие топологии, но и на развитие всей теоретико-множественной математики. После этого стало возможным говорить о теории аппроксимации сложных топологических и алгебро-топологич. объектов более простыми.

Если для каждого комплекс Na, конечен, то спектр S={Na, }. наз. конечным проекционным спектром. С каждым П. с. S={Na, } связываются следующие понятия. Всякий набор симплексов по одному из каждого комплекса Na. спектра Sназ. нитью этого спектра, если при a' >a всегда , где . Множество всех нитей с топологией, базу к-рой образуют множества вида , где произвольны, означает, что симплекс t'a0 нити x' в комплексе Na0 является гранью симплекса ta0, наз. полным пределом спектра S. Та же топология получается, если индуцировать на топологию тихоновского произведения , где соответствующее комплексу Na топологическое T0 -пространство. Нить x'={t'a} объемлет нить x={ta}, если для каждого выполнено . Нить x наз. максимальной (соответственно минимальной), если не существует никакой отличной от нее нити, для к-рой она была бы объемлемой (соответственно объемлющей). Подпространство полного предельного пространства спектра S, состоящее из всех максимальных (соответственно из всех минимальных) нитей, наз. верхним (соответственно нижним) пределом спектра S. Полный предел является полурегулярным (в другой терминологии семирегулярным) Т 0 -пространством, а верхний и нижний пределы суть Т 1 -пространства. Если S - конечный П. с., то и бикомпактные пространства.

В основе всей теории аппроксимации топология, пространств полиэдрами, вернее симилициальными комплексами, лежит введенное П. С. Александровым (см. [1]) понятие нерва системы множеств. Нервом данной системы а множеств наз. симнлициальный комплекс Na, вершины к-рого взаимно однозначно соответствуют элементам системы а таким образом, что каждое множество вершин определяет симплекс комплекса Na. тогда и только тогда, когда соответстнующие этим вершинам множества системы а имеют непустое пересечение.