Математическая энциклопедия - проективная связность

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М;специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем проективное пространство Р n размерности n=dim М. Структурой такого Ек каждой точке присоединяется экземпляр проективного пространства ( Р п) х, к-рый отождествляется (с точностью до гомологии с инвариантной связкой прямых в точке х).с касательным центроаффинным пространством Т х (М), дополненным бесконечно удаленной гиперплоскостью. П. с., как связность в таком Е, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой

с началом x0 и каждой ее точке xt проективного отображения так, что удовлетворяется следующее условие. Пусть Мпокрыто координатными областями, в к-рых фиксировано гладкое поле репера (Pn)x У к-рого вершина, определяемая вектором е 0, совпадает с х. (Репер в Р п определяется классом эквивалентности базисов в векторном пространстве Vn+1, если эквивалентными считаются те {еa}и {е'a},a=0,1, ..., n, у к-рых ) Тогда при отображение семейства должно стремиться к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля реперов в нек-рой окрестности точки х 0 матрицей линейных дифференциальных форм

(1)

общей для всех L. Другими словами, образ репера в точке xt при отображении должен быть определен векторами

где Xкасательный вектор к Lв точке х 0 и Возможность перехода к эквивалентным базисам приводит к тому, что среди форм (1) существенны только

(2)

При преобразовании репера поля в произвольной точке согласно формулам , где , т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства П реперов в пространствах ( Р п) х, формы (1) заменяются следующими 1-формами на П:

(3) 2-формы

(4)

являются полубазовыми, т. е. линейными комбинациями , и тензорными, т. е. при преобразовании репера матрицами имеют место формулы

где составлены из (3) аналогично (4). Для существенных форм (2) имеют место структурные уравнения П. с. (где для простоты опущены штрихи):

(5)

где . Здесь правые части полубазовы; они составляют систему форм кручения-кривизны П. с. Равенство имеет инвариантный смысл. В этом случае говорят о П. с. нулевого кручения; для нее . Инвариантные тождества

,

выделяют специальный класс П. с., называемых (по Картану) нормальными П. с.

Формы (1) определяют П. с. на Моднозначно: образ при отображении репера в точке xt определяется решением {ea(t}} системы

(6)

при начальных условиях ua(0)=ea, где xⁱ=xⁱ(t) уравнения кривой Lв нек-рой координатной окрестности ее точки x0 с координатами х ⁱ(0).