Математическая энциклопедия - производящий оператор

полугруппы производная в нуле от полугруппы линейных ограниченных операторов , действующих в комплексном банаховом пространстве X. Если T(t).непрерывна по норме операторов, то она имеет вид T(t)= е ^tA0, где А 0 - ограниченный оператор,

(1)

при любом и А 0 есть П. о. T(t). Обратно, если предел слева существует при всех , то .

Более сложная картина возникает, когда Т(t).только сильно непрерывная полугруппа. В этом случае предел (1) существует не при всех х. Оператор А 0, определенный на линейном множестве D(A0).всех тех х, для к-рых предел существует, является линейным неограниченным оператором и наз. инфинитезимальным оператором. В частности, A0 определен

на всех элементах вида

.

Если обозначить через Х 0 замыкание объединения областей значений всех операторов Т(t), t>0, то D( А 0).плотно в Х 0 и, более того, плотно в Х 0. Все значения оператора А 0 также лежат в Х 0. Если оператор А 0 неограничен, то D(A0).является множеством первой категории в Х 0.

Если в Х 0 нет элементов х, на к-рых , то оператор А 0 допускает замыкание , к-рое и наз. производящим оператором полугруппы Т(t). В этом случае при

(2)

Равенство (2) определяет замкнутый оператор А, к-рый, вообще говоря, шире, чем замыкание А 0. Его иногда наз. обобщенным производящим оператором полугруппы Т(t).

На множестве DR тех же , для к-рых сходится несобственный интеграл

(3) определен оператор

при Re l>w, где w тип полугруппы Т(t). Этот оператор обладает свойствами:

Если интеграл (3) абсолютно сходится при любом , то П. о. Асуществует тогда и только тогда, когда из , следует х=0;оператор R (l) ограничей, и, если Х 0=Х, он совпадает о резольвентой оператора А; для того чтобы А 0 был замкнутым ( А = А 0), необходимо и достаточно, чтобы

при любом .

Основной задачей теории полугрупп операторов является установление связи между свойствами полугрупп и свойствами их П. о., причем последние обычно формулируются в терминах операторов R(l).

Лит.:[1]Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962; [2] Забрейко П. П., Зафиевский А. В., "Докл. АН СССР", 1969. т. 189, № 5, с. 934-37; [З] его ж е, там же, 1970, т. 195, № 1, с. 24-27. С. Г. Крейн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985