Математическая энциклопедия - топологическая транзитивность

свойство, определяемое для топологической динамической системы{Tt},обычно для потока или каскада (время tпробегает все действительные или целые числа). Оно заключается в существовании траектории {Ttw0},имеющей все фазовое пространство Wсвоим -предельным множеством. (Эквивалентное свойство заключается в существовании положительной полутраектории всюду плотной в W. )Такую траекторию (полутраекторию) наз. топологически транзитивной.

С Т. т. тесно связано свойство транзитивности областей: для любых непустых открытых множеств имеется t>0, для к-рого Именно, из Т. т. следует транзитивность областей, а если W - полное сепарабельное метрич. пространство, то из транзитивности областей следует (см. [1], [2]) Т. т. (и при этом множество топологич. транзитивных траекторий имеет мощность континуума). Поэтому при том же предположении о Wсвойство Т. т. симметрично относительно направления времени: если существует траектория {Ttw0},имеющая все Wсвоим -предельным множеством, то имеет место транзитивность областей и Т. т.

Часто под Т. т. понимается существование траектории {Ttw0}, всюду плотной в W. (Различие между приведенными определениями существенно, когда точки этой траектории образуют в Wоткрытое множество; в противном случае она сама для себя является w-предельной или -предельной, а потому и все Wявляется ее -предельным или -предельным множеством.) Последнее определение годится и для более общих групп преобразований [3]. Определения и часть результатов можно перенести также и на случай необратимых преобразований и полугрупп, хотя обычно в топологич. динамике таковыми не занимаются.

Лит.:[1] Биркгоф Д ж. Д., Динамические системы, пер. с англ., М.-Л., 1941; [2] НемыцкийВ. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; [3] Gottschalk W., Неdlund G. A., Topological dynamics, Providence, 1955.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985