Математическая энциклопедия - топологическое векторное пространство

над топологическим полем (т. п.), К - векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е. удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображение непрерывно; 2) отображение непрерывно (при этом предполагается, что произведения и наделены произведениями соответствующих топологий). Совершенно аналогично можно определить топологическое левое и правое векторные пространства над (не обязательно коммутативным) топологич. телом. Для обозначения Т. в. и. Ес топологией иногда будет использоваться символ с другой стороны, упоминание о поле Кчасто будет опускаться.

Т. в. п. Е 1 и Е 2 над одним и тем же т. п. наз. изоморфными, если существует непрерывное линейное взаимно однозначное отображение Е 1 на Е 2. обратное к к-рому также непрерывно. Размерностью Т. в. п. наз. размерность векторного пространства Е.

Способы задания топологии Т. в. п. и ее свойства. Пусть Т. в. п. над т. п. К. Топология инвариантна относительно сдвигов (т. е. для каждого отображение представляет собой гомеоморфизм Ена себя); поэтому топология однозначно определяется базой (базисом, фундаментальной системой) окрестностей всякой фиксированной точки (в частности, нуля). Топология согласуется со структурой аддитивной группы пространства Е, и справедливы следующие предложения. 1. Для того чтобы Ебыло отделимым, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки существовала окрестность нуля, не содержащая х.2. Если . отделимо, то оно вполне регулярно. 3. В E существует единственная равномерная структура, обладающая следующими свойствами: а) она инвариантна относительно сдвигов (т. е. для нее все сдвиги представляют собой равномерно непрерывные отображения); б) ассоциированная с ней топология совпадает с исходной топологией пространства Е. Множество в Т. в. п. наз. полным, если оно полно относительно равномерной структуры, о к-рой только что шла речь. Т. о., Т. в. п. Еполно, если всякий Коши фильтр в Есходится. Для всякого Т. в. п. Есуществует полное Т. в. п. над тем же полем, содержащее Ев качестве всюду плотного подмножества и индуцирующее на Еисходные линейную структуру и топологию; оно наз. пополнением пространства Е. Всякое отделимое Т. в. п. обладает отделимым пополнением, единственным с точностью до изоморфизма, оставляющего неподвижными элементы пространства Е. Всюду далее предполагается, если не оговорено противное, что К - недискретное нормированное поле, наделенное топологией, определяемой нормой. Если Е - векторное пространство над К, то множество называется закругленным (или уравновешенным), если при Если . и Вдва подмножества в Е, то говорят, что А поглощает В, если существует такое положительное число r, что при Подмножество пространства Еназ. поглощающим (или радиальным), если оно поглощает каждое одноточечное множество. Во всяком Т. в. п. Енад . существует база замкнутых окрестностей нуля со следующими свойствами: 1) для всякого множества существует такое, что 2) каждое закругленное поглощающее множество; 3) если то и для всякого С другой стороны, пусть топология в векторном пространстве Енад К, инвариантная относительно сдвигов и обладающая базой окрестностей нуля, имеющей свойства (1) и (2), а также следующее свойство: За) существует такое что, если то и Тогда Е, наделенное топологией -Т. в. п. над K (в том случае, когда норма в поле Кархимедова, (За) является следствием остальных требований, наложенных на Всякий базис фильтра в векторном пространстве Енад К, обладающий свойствами (1), (2), (За), а в случае поля с архимедовой нормой хотя бы свойствами (1) и (2),является фундаментальной системой окрестностей нуля (не обязательно замкнутых) нек-рой однозначно определяемой топологии в Е, согласующейся со структурой векторного пространства в Е. Т. в. п. Енад полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел и его топология наз. локально выпуклыми, если Еобладает базой окрестностей нуля, состоящей из выпуклых множеств (иногда в определение локально выпуклого пространства включается еще требование его отделимости).

Примеры. 1. Всякое т. п. Кможет рассматриваться как (одномерное) Т. в. п. над К;рассматриваемое таким образом, оно будет обозначаться символомК 0;

2. Пусть I нек-рое непустое множество и векторное пространство над К, представляющее собой произведение I экземпляров векторного пространства К 0,наделенное топологией, являющейся произведением топологий сомножителей. Тогда Т. в. п.

3. Если топология т. п. Кдискретна, то всякое векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой ого аддитивной группы и инвариантной относительно операций умножения на ненулевые элементы из К, является Т. в. п. (этим условиям удовлетворяет, в частности, дискретная топология в Е). Т. в. п. над полями с дискретной топологией наз. топологическими векторными группами.

4. Пусть Е - векторное пространство над т. п. К, - нек-рое множество полунорм на Е. Шаром радиуса r>0 по полунорме р на Еназ.