Математическая энциклопедия - топологическая энтропия

понятие топологической динамики и эрзодической теории, аналогичное метрич. энтропии динамич. систем (введена в [1]). Для открытого покрытия компакта Xчерез обозначается логарифм (обычно двоичный) наименьшего числа элементов покрытия, к-рые все еще покрывают X. Если непрерывное отображение, то существует предел

где покрытие, элементы к-рого суть непустые пересечения элементов покрытий и Т. э. определяют как верхнюю грань по всевозможным Эквивалентное определение в ме-тризуемом случае: пусть для метрики через обозначено наибольшее число точек X, попарные расстояния между к-рыми больше тогда

где

Оказывается, что

а если S - гомеоморфизм, то Поэтому Т. э. каскада{Sⁿ}естественно считать Для топологич. потока{St}оказывается, что

поэтому Т. э. потока естественно считать Несколько иначе определяется Т. э. для других групп преобразований (она уже не сводится к Т. э. одного из преобразований, входящих в группу; см [7]).

Т. э. совпадает с верхней гранью метрич. энтропии по всевозможным нормированным борелевским инвариантным мерам (см. [2], [5] [7]). Это частный случай вариационного принципа, устанавливающего топологич. интерпретацию величины

с фиксированной непрерывной функцией f (см. [4], [8], [9]). Т. э. дает характеристику лсложности

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985