Математическая энциклопедия - топология вложений

топологические вложения,раздел топологии, в к-ром изучаются локальные топологич. свойства расположений замкнутых подмножеств евклидова пространства или многообразия.

Теория Т. в. возникла в работах А. 3 началось после решения Шкнфлиса гипотезы. В основном оно происходило в духе накопления фактов и решения большого числа задач частного характера. Были также выяснены связи методов теории Т. в. и геометрич. топологии многообразий. Примерно к сер. 70-х гг. теория Т. в. сформировалась в самостоятельное направление со своей тематикой, методами и задачами. С ее помощью был решен ряд принципиальных задач геометрич. топологии многообразий: доказано существование некомбинаторной триангуляции сфер размерности получена характеризация топологич. многообразий и классифицированы односвязные четырехмерные многообразия.

Топологическим вложением пространства X(как правило, многообразия, полиэдра или компакта) в евклидово пространство Е ⁿ наз. произвольный гомеоморфизм пространства Xна подмножество Иногда под Т. в. понимают просто включение Два вложения наз. эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм что Если hявляется изотопией, то вложения наз. изотопными.

Простейшие примеры неэквивалентных вложений получаются с помощью узлов (см. Узлов теория), гораздо труднее построить неэквивалентные вложения нульмерных компактов или отрезков в Е ³ (см. Дикий узел).

Канторово множество на прямолинейном отрезке, лежащем в Е ³,и дикий нульмерный компакт Антуана в Е ³ неэквивалентны.

Тот факт, что основные задачи теории Т. в. сконцентрированы на локальных свойствах, объясняется существованием т. н. диких вложений, для к-рых нарушается регулярность локальной структуры. Исследование глобальных свойств ручных (локально плоских) вложений, как правило, в Т. в. не включается.

Следующие четыре теоремы можно считать основными в теории Т. в.

Теорема 1 (характеризации). Вложение является ручным тогда и только тогда, когда дополнение обладает свойством 1 ULC (для любого существует такое что каждое d-отображение -гомотопно нулю в Y).

Теорема 2 (о близких вложениях). Любые два близких ручных вложения изотопны посредством малой изотопии.

Теорема 3 (о вложениях в тривиальной области размерностей). Если то любые два ручных вложения изотопны.

Теорема 4 (об аппроксимации). Любое вложение аппроксимируется ручным.

Эти теоремы, за исключением теоремы 3, доказаны лишь при определенных размерностных ограничениях, различных для многообразий, полиэдров и компактов.

Вложение многообразия Xв Е ^п наз. ручным (или локально плоским), если для любой точки существует такая окрестность U(х)в Е ⁿ, что пара гомеоморфна стандартной паре ( Е ^п, Е ^r )при гомеоморфизме, переводящем точку в начало координат.

Теорема 1 справедлива в этом случае при и (при r=п-2и ответ также известен: надо чтобы дополнение было, грубо говоря, локально гомотопически эквивалентно окружности).

Теорема 2 верна при и (прибавление малого узелка показывает, что при r=п-2теорема 2 заведомо неверна; условия изотопностй близких вложений при т=п-2 известны). Кроме того, для случая, когда Xявляется сферой S^r, доказано, что при любое ручное вложение изотопно стандартному (при r=п-2и для этого необходимо и достаточно, чтобы дополнение было гомотопически эквивалентно окружности).

Теорема 4 верна при и (причем при r=n-2 и эта теорема как показывают соответствующие контрпримеры заведомо неверна).

Вложение полиэдра Xв Е ⁿ наз. ручным, если оно эквивалентно кусочно линейному вложению. В этом случае теоремы 1,2 и 4 верны при

Вложение r-мерного компакта . в Е ^п наз. ручным, если изотонией его можно снять с любого прямолинейного полиэдра размерности В этом случае теорема 1 верна при и теорема 2, вообще говоря, неверна (при 2r+2>n), а теорема 4 верна для любого r.

Лит.:[1] Келдыш Л. В., Топологические вложения в евклидово пространство, М., 1966; [2] Чернавский А. В., лДокл. АН СССР

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985