Математическая энциклопедия - топологизированная категория

категория, снабженная топологией Гротендика. Пусть С - категория с расслоенными произведениями. Задать топологию Гротендика в Сзначит задать для каждого объекта множество Cov (X) семейств морфизмов называемых покрытиями, причем должны выполняться следующие условия:

1) покрытие объекта X;

2) если покрытие X, то получаемое из него заменой базы семейство является покрытием объекта Y;

3) если покрытие X, а покрытия Xi, то покрытие X.

Если в Спрямые суммы определены, то семейство можно заменить одним морфизмом (для простоты в дальнейшем это предполагается).

Категория открытых подмножеств Uтопологич. пространства Тявляется Т. к., если в качестве Cov (U)брать семейства такие, что Менее тривиальный пример доставляет эталъная топология схем: пусть X - схема, С - категория схем, этальных над X;морфизм в Ссчитается покрытием, если он сюръективен.

Наличие покрытий позволяет говорить о пучках на Т. к. и их когомологиях. Контравариантный функтор Fиз Свкатегорию множеств наз. пучком множеств, если для любого покрытия выполнено условие

где p1, р 2 две проекции на X'. Канонической топологией в категории Сназ. наиболее тонкая топология, в к-рой все представимые функторы являются пучками. Если же выполнено обратное любой пучок относительно канонич. топологии представим, то категория Сназ. топосом. С каждым предпучком множеств можно связать ассоциированный с ним пучок множеств; определяются операции прямого и обратного образа пучков и т. д.

Аналогично определяетсяпучок групп, абелевых групп, модулей и т. д. Категория пучков абелевых групп на Т. к. является Гротендика категорией, что позволяет определить когомологии пучков Hⁱ(X1F) как производные функторы для функтора (см. Когомологии )и перенести на них обычный формализм.

См. также Гомотопический тип топологизированной категории.

Лит.:[1] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 1-3, В.Hdlb.N. Y., 1972-73; [2] Cohomologie etale, В.Hdlb.N. Y., 1977.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985