Математическая энциклопедия - топологическое тензорное произведение

локально выпуклых пространств E1 и Е 2 - локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на билинейным операторам с нек-рым условием непрерывности. Точнее, пусть нек-рый класс локально выпуклых пространств и для каждого задано подмножество Т(F)множества рездельно непрерывных билинейных операторов из в F. Тогда Т. т. п. E1 и Е 2 (относительно класса Т(F))наз. локально выпуклое пространство вместе с оператором обладающее следующим свойством: для любого существует единственный непрерывный линейный оператор такой, что Таким образом, если ситуация позволяет говорить о функторе то определено как представляющий объект этого функтора.

Во всех известных (1985) примерах содержит поле комплексных чисел а содержит все билинейные функционалы вида переводящие ( х, у )в i(x) g(y). В этом случае, если Т. т. п. существует, то в есть плотное подпространство, к-рое можно отождествить с пространством алгебраического тензорного произведения;при этом

Если состоит из всех раздельно (соответственно, совместно) непрерывных билинейных операторов, то Т. т. п. наз. индуктивным (соответственно, проективным). Наиболее важно проективное Т. т. п. Пусть { р i} - определяющие семейства полунорм в Е i, i=l, 2; через p обозначается топология в определенная семейством полунорм

Тогда если класс всех, соответственно, всех полных локально выпуклых пространств, то проективное Т. т. п. E1 и Е 2 существует и его локально выпуклое пространство есть с топологией соответственно, его пополнение.

Если Ei банаховы пространства с нормами р i, i=l, 2, то норма в пополнение но к-рой обозначается через Элементы имеютдля каждого представление

где

Если снабдить более слабой, чем топологией с помощью семейства полунорм

где Vи W - поляры единичных шаров относительно р1 и р 2, то возникает Т. т. п., иногда наз. слабым. Локально выпуклые пространства E1,обладающие тем свойством, что для любого Е 2 обе топологии в совпадают, образуют важный класс ядерных пространств.

Проективное Т. т. п. связано с понятием свойства аппроксимации: локально выпуклое пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации, если для каждого предкомпактного множества и окрестности нуля Uсуществует непрерывный оператор конечного ранга такой, что для всех Все ядерные пространства обладают свойством аппроксимации. Банахово пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства Е 2 оператор однозначно определенный равенством имеет нулевое ядро. Построено [3] сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказано существование банаховых пространств без базиса Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство аппроксимации,т. о. отрицательно решена т. н. лпроблема базиса

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985