Математическая энциклопедия - топологическое пространство

совокупность двух объектов: множества X, состоящего из элементов произвольной природы, наз. точками данного пространства, и из введенной в это множество топологической структуры, или топологии, все равно открытой или замкнутой (одна переходит в другую, если заменить множества, составляющие данную топологию, их дополнениями). Если не сказано противное, под топологией будет пониматься открытая топология. Логически самый простой способ определения топологии в данном множестве Xзаключается в непосредственном указании тех подмножеств множества X, к-рые составляют эту топологию. Но часто проще определять не все множества, являющиеся элементами данной топологии, а только нек-рые множества этих элементов (т. е. базу данной топологии), достаточные для того, чтобы все остальные элементы топологии получались как объединения (в случае открытой топологии) или пересечения (в случае замкнутой) множеств, к-рые составляют базу. Так, напр., обычная топология числовой прямой получается, если определить в качестве базы ее открытой топологии множество всех интервалов (можно ограничиться даже одними интервалами с рациональными концами). Остальные открытые множества суть объединения интервалов.

Имея в виду базу открытой и, соответственно, замкнутой топологии, часто говорят об открытой, соответственно, замкнутой базе данного Т, п., причем открытые базы рассматриваются чаще замкнутых, поэтому если говорят просто о базе Т. п., то всегда имеют в виду его открытую базу. Наименьшее кардинальное число (в нетривиальных случаях бесконечное), являющееся мощностью какой-либо базы данного Т. п., наз. его весом. После мощности множества всех точек пространства вес является важнейшим т. н. кардинальнозначным инвариантом пространства. Особенно важны пространства, имеющие счетную базу; напр., числовая прямая есть такое пространство. Аналогично, счетная база евклидова га-мерного пространства получается, если взять т. н. рациональные (открытые) шары, т. е. шары, радиус к-рых и координаты центра к-рых суть рациональные числа. Часто приходится определять тем или иным стандартным (естественным) способом топологию во множестве, снабженном какой-либо другой структурой. Так, говорят об естественной топологии метрич. пространства или об естественной (интервальной) топологии упорядоченного множества. Первая имеет своей базой множество всех открытых шаров данного метрич. пространства, вторая открытые интервалы данного линейно упорядоченного множества. Т. п. наз. метризуемым, если во множестве Xего точек можно ввести метрику порождающую топологию данного Т. п. Метризуемые пространства образуют один из важнейших классов Т. п., и к центральным проблемам общей топологии принадлежали в течение нескольких десятилетий общая и специальная проблемы метризации, т. е. проблемы нахождения необходимых и достаточных условий для того, чтобы Т. п. или Т. п. того или иного специального класса было метризуемым. Эти условия составляют содержание общих или специальных метризационных теорем.

Всякое подмножество Х 0 множестра Xвсех точек данного Т. п. X, естественно превращается в Т. п. (подпространство пространства с топологией, элементы к-рой суть всевозможные множества вида где Г любой элемент топологии Пусть дана (открытая) топология в множестве X, превращающая это множество в Т. п.. X, Т. к. топология есть множество нек-рых подмножеств множества X, то между различными топологиями в одном и том же множестве Xестественно устанавливается отношение (частичного) порядка (по включению), т. е. топология больше (или равна) топологии если есть подмножество множества т. е. каждое множество, открытое в топологии будет открытым и в топологии Если в пределах данного рассуждения речь идет об одной и той же топологии в данном множестве X, то обыкновенно Т. п. X, обозначается просто X. Из понятия топологии выводятся и все остальные основные топологич. понятия. Прежде всего замкнутые множества определяются как дополнения к открытым. Далее, окрестностью точки хв данном пространстве . наз. всякое открытое множество, содержащее точку х. Понятие окрестности позволяет сразу же определить и понятие точки прикосновения для любого множества как такой точки, любая окрестность к-рой имеет непустое пересечение с множеством М. Из этого определения следует, что любая точка самого множества Мявляется точкой прикосновения этого множества. Множество всех точек прикосновения множества Мназ. замыканием множества Ми обозначается [М].Переход от любого множества Мк его замыканию наз. операцией замыкания в данном Т. п. Свойства этой операции: 1) причем М=[М]тогда и только тогда, когда Мзамкнуто, т. е. его дополнение открыто;

2) 3) Замыкание любого множества есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество М;другими словами, [М]есть наименьшее замкнутое множество, содержащее множество М.

Операция замыкания и ее основные свойства 1), 2),

3) получены, исходя из основного (в нашем изложении) понятия топологии или топологич. структуры, введенной в данное множество X. Можно было бы, наоборот, считать основным топологич. понятием понятие замыкания, т. е. считать, что в абстрактно данном множестве Xдля каждого подмножества Мопределено подмножество [М], наз. замыканием множества, так что выполнены свойства 1), 2), 3) (наз. в этом случае аксиомами замыкания, или аксиомами Куратовского) и 4) На основе так введенного понятия замыкания замкнутые множества определятся как множества, совпадающие со своими замыканиями, а открытые множества как множества, дополнительные к замкнутым; таким образом получается в точности топология в нашем первоначальном смысле, а операция замыкания, к к-рой она приводит, совпадает с той, к-рая была дана априори. Именно этот путь и был избран К. Куратовским (К. Кuratowski, 1922) для построения понятия Т. п. В 1925 II. С. Александровым были введены открытые топологич. структуры. Оба подхода приводят к одному и тому же классу Т. п., в настоящее время являющемуся общепринятым.

С понятием Т. п. тесно связано понятие непрерывного отображения одного пространства в другое. Отображение Т. п. Xв Т. п. Yнепрерывно в точке если для любой окрестности О у точки в пространстве Yсуществует такая окрестность О х точки хв X, что (условие Коши). При этом, не изменяя содержания определения, можно брать окрестности О у и О х из любых открытых баз соответственно пространств Yи X. В частности, для метрич. пространств это определение непрерывности переходит в обычное известное из курсов математич. анализа определение. Если отображение непрерывно в каждой точке то оно наз. непрерывным отображением пространства X в пространство Y. Для непрерывности отображения каждое из следующих условий необходимо и достаточно. 1) Если хесть точка прикосновения какого-либо множества то f(x)есть точка прикосновения множества f(M)в F. 2) Полный прообраз f^-1 (Г) всякого открытого в У множества Г есть открытое множество в X. Аналогично для замкнутых множеств.

Если дано (непрерывное) отображение f Т. п. Xв Т. п. Y и Х а есть подпространство пространства X, то в силу отображения f пространство Х 0 отображается в Y и это отображение (наз. ограничением отображения на подпространство Х 0) также непрерывно.

Важный частный случай непрерывных отображений образуют т.