Математическая энциклопедия - трансцендентная кривая

плоская кривая, уравнение к-рой в декартовых прямоугольных координатах не является алгебраическим. В отличие от алгебраич. кривых Т. к. могут иметь бесконечно много точек пересечения с прямой и бесконечно много точек перегиба. У Т. к. встречаются точки особой природы, к-рых не существует у алгебраич. кривых: точки прекращения, обладающие той особенностью, что окружность достаточно малого радиуса с центром в этой точке пересекает кривую только в одной точке; угловые точки (излома точки), в к-рых прекращаются две ветви кривой, причем каждая из них имеет в такой точке свою касательную; асимптотичeские точки, к к-рым непрерывно приближается ветвь кривой, делая вокруг точки бесконечное число оборотов. Нек-рые Т. к. обладают своеобразными особенностями формы (напр., имеют пунктирную ветвь из бесконечного множества изолированных точек).

Одна из попыток классифицировать Т. к. основывается на том факте, что у подавляющего большинства известных Т. к. (и у всех алгебраич. кривых) угловой коэффициент у' касательной в каждой точке кривой является корнем алгебраич. уравнения, коэффициенты к-рого представляют собой многочлены от переменных хи у. Иными словами, дифференциальные уравнения большинства известных Т. к. являются уравнениями 1-го порядка вида

где f0, f1, f2, . . ., fn - многочлены без общих множителей. Это обстоятельство позволяет объединить как все алгебраич. кривые, так и почти все Т. к. (кроме, напр., Корню спирали )в группу т. н. паналгебраических кривых, к-рые различаются по степени пи по рангу v максимальной степени многочленов f0, f1, f2, . . ., fn. Так, напр., у кривых 3-го порядка n=1, v=2; у архимедовой спирали n=2, v=4. Паналгебраич. кривые обладают многими свойствами, присущими алгебраич. кривым. Напр., на них могут быть обобщены понятия гессианы и поляры. О попытках дальнейшей классификации паналгебрaич. кривых см. [1].

Примеры Т. к. см. Спирали, Цепная линия, Динострата квадратриса, Циклоида, а также графики трансцендентных функций:показательной, логарифмической, тригонометрической и др.

Лит.:[1] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.

Д. Д. Соколов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985