Математическая энциклопедия - трансфинитный диаметр

компактного множества характеристика d=d(E)компактного множества Ена комплексной плоскости, служащая геометрии, интерпретацией емкости этого множества. Пусть Екомпактное бесконечное множество плоскости z. Величина

где [ а, b]=|а-b| - евклидово расстояние между точками а, b, наз. п- мдиаметром множества Е. В частности, d2 (Е)евклидов диаметр множества Е. Точки zn,1. . . ., zn,n множества Е, для к-рых в правой части равенства (1) реализуется максимум, наз. точками Фекете (или узлами Вандермонда) для Е. Последовательность величин dn(E)невозрастающая: п=2, 3, . . ., так что существует предел

Величина d(E)и наз. трансфинитным диаметром множества Е. Если Еконечное множество, то полагают d(E)=0.Т. д. d(E), Чебышева постоянная и емкость множества С(Е)связаны равенствами

Т. д. множества Еобладает следующими свойствами: 1) если то 2) если афиксированное комплексное число и то d(E1)=|a|d(E);3) если множество точек, находящихся на расстоянии от Е, меньшем или равном e, то 4) если Е* - множество всех корней уравнения

где Q(z) - данный многочлен, . пробегает множество Е, то Т. д. круга равен его радиусу; Т.