Математическая энциклопедия - трансверсальности условие

необходимое условие оптимальности в вариационных задачах с подвижными концами. С помощью Т. у. определяются произвольные постоянные, от к-рых зависит решение уравнений Эйлера. Т. у. является необходимым условием обращения в нуль первой вариации функционала. Для простейшей задачи вариационного исчисления с подвижными концами

в к-рой точка

не фиксируется, а может принадлежать нек-рому множеству, Т. у. записывается в виде соотношения

к-рое должно выполняться при любых значениях дифференциалов dt1, dx1, dt2, dx2,удовлетворяющих проварьированным граничным условиям.

Если левый и правый концы экстремали могут смещаться вдоль заданных линий и то в силу

и независимости вариаций dt1 и dt2 из (1) получают

Если уравнения линий, вдоль к-рых смещаются левый и правый концы экстремали, заданы в неявном виде: и то Т. у. (1) записывается в виде

Если на один из концов экстремали не наложено никаких ограничений, то на этом конце, в силу независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx, Т. у. (1) принимает вид

Соотношения (2), (3), (4) наз. условиями трансверсальности.

Ниже приводятся Т. у. в более общем случае вариационной задачи на условный экстремум. Пусть имеется Болъца задача, состоящая в минимизации функционала

при наличии дифференциальных ограничений типа равенств

и граничных условий

В этой задаче при р<2n+2 концы и экстремали не закреплены, а могут смещаться вдоль заданных гиперповерхностей Согласно Т. у., существуют такие постоянные (множители Лагранжа) а также такие множители и i=l, . . ., т, что на концах экстремали помимо граничных условий (7) выполняется соотношение

к-рое должно иметь место при любом выборе дифференциалов

Через Fв (8) обозначено

В большинстве практич. задач для нормировки множителей Лагранжа полагают (значение соответствует анормальному случаю, см. [1]). Множители i=l, . . ., т, определяются вместо с xⁱ(t), i=l, . . ., т, из решения системы дифференциальных уравнений Эйлера

и туравнений вида (6):

Общее решение полученной системы из . дифференциальных уравнений 2-го порядка и тдифференциальных уравнений 1-го порядка относительно п+т неизвестных функций xⁱ (t), i=l, . . ., пи i=l, . . ., m, (зависит от 2n произвольных постоянных. Действительно, если обозначить

то получается система (11), (12) 2. дифференциальных уравнений 1-го порядка и тконечных соотношений

Выражая из (13) нек-рые тфункций и i через остальные (в предположении, что соответствующий функциональный определитель отличен от нуля) и подставляя их в (11), (12), получают систему 2n дифференциальных уравнений 1-го порядка с 2n неизвестными функциями, общее решение к-рой зависит от 2га произвольных постоянных. Вместе со значениями t1 и t2 ото дает 2n+ 2 произвольных постоянных, определяющих решение вариационной задачи (5) (7). С помощью Т. у. получают ровно столько же соотношений, позволяющих определить эти произвольные постоянные.

В задачах оптимального управления и в принципе максимума Понтрягина необходимое Т. у. записывается аналогично (8), только вместо

в (8) следует подставлять гамильтониан H, взятый с обратным знаком, и сопряженные переменные

Необходимое Т. у. позволяет получать недостающие граничные условия для получения замкнутой краевой задачи, к к-рой сводится решение вариационной задачи с подвижными концами.

Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [2] Лаврентьев М. А., Люстерник Л.-А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.Л., 1950.

И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985