Математическая энциклопедия - трансцендентное расширение

расширение поля, не являющееся алгебраическим. Расширение К/k трансцендентно тогда и только тогда, когда поле Ксодержит элементы, трансцендентные над k, то есть элементы, не являющиеся корнем никакого алгебраич. уравнения с коэффициентами из k.

Элементы множества наз. алгебраически независимыми над k, если для любого конечного набора и любого многочлена F(X1, . . ., Х т )с коэффициентами из k

Элементы множества Xтрансцендентны над k. Если Xмаксимальное множество, все элементы к-рого алгебраически независимы над k, то Xназ. базисом трансцендентности поля Кнад k.

Мощность множества Xназ. степенью трансцендентности поля Кнад kи является инвариантом расширения K/k Для башни полей степень трансцендентности L/k равна сумме степеней трансцендентности L/K и K/k.

Если все элементы множества Xалгебраически независимы над k, то расширение k(X)наз. чисто трансцендентным. В этом случае поле k(X)изоморфно полю рациональных функций от множества переменных Xнад k. Любое расширение полей L/k представимо в виде башни расширений где L/K - алгебраическое, a K/k - чисто трансцендентное расширение. Если поле Кможно выбрать так, чтобы L/K было сепарабельным расширением, то расширение L/k наз. сепарабельно порожденным, а базис трансцендентности Кнад k - сепарирующим базисом. Если . сепарабельно порождено над k, то Lсепарабельно над k. В случае когда расширение L/k конечно порождено, верно и обратное утверждение. Расширение K/k сепарабельно тогда и только тогда, когда любое дифференцирование поля kпродолжается на К. Такое продолжение определено однозначно для любого дифференцирования тогда и только тогда, когда расширение K/k алгебраично.

Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [2] Бурбаки Н., ' Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985