Математическая энциклопедия - транзитивная группа

группа подстановок (G, X )такая, что каждый элемент может быть переведен в любой элемент подходящим элементом т. е. Иными словами, все множество Xобразует единственную орбиту группы (G, X). Если же число орбит больше 1, то группа (G, X)наз. интранзитивной. Орбиты интранзитивной группы иногда наз. ее областями транзитивности. У интранзитивной группы (G, X) с орбитами Xi

ограничение действия группы на X;транзитивно. Пусть Н - подгруппа в Gи пусть

разложение Gна правые смежные классы по Н. Пусть, далее, Х={ Нх i}. Тогда действие (G, X )определяется условием Это действие транзитивно, и обратно, всякое транзитивное действие подобно вышеуказанному для подходящей подгруппы H в G.

Действие (G, X)наз. . раз транзитивным, если для любых двух упорядоченных множеств из kразличных элементов (х 1, . . ., х k )и (у 1, . . ., yk), существует такой элемент что для всех i=l, . . ., k;иначе говоря, (G, X)обладает лишь одной антирефлексивной k-орбитой. Для k-транзитивная группа наз. кратнотранзитивной. Примером дважды транзитивных групп являются группы целых линейных преобразований нек-рого поля К. Примером трижды транзитивных групп служат группы дробно-линейных преобразований проективной прямой над полем К, т. е. преобразований вида

где

Т. г. (G, X)наз. строго k раз транзитивной, если лишь тождественная подстановка может оставлять на месте kразличных элементов из Группа целых линейных и группа дробно-линейных преобразований являются примерами строго дважды и строго трижды транзитивных групп.

Конечная симметрич. группа Sn n раз транзитивна. Конечная знакопеременная группа А п ( п-2) раза транзитивна. Эти две серии кратно транзитивных групп считаются тривиальными. Известны еще две 4 раза транзитивные группы М 11 и М 23 и две 5 раз транзитивные группы M12 и М 24 (см. [3], а также Матьё группа). Существует гипотеза (1984), что за исключением этих четырех групп не существует нетривиальных kраз транзитивных групп для Эта гипотеза доказана в предположении, что верна неоднократно анонсированная классификация конечных простых неабелевых групп [6]. Более того, при указанном предположении можно считать законченной классификацию всех кратно транзитивных групп.

Т. г. определяются также для дробных . вида т+¹/2, m=0, 1, 2, .... А именно, группа (G, X) наз. ¹/2транзитивной, если либо |Х|=1, либо все орбиты группы (G, X)имеют одинаковую длину большую 1. А для п>1 группа (G, X) п+¹/2 раз транзитивна, если фиксатор (Gx, X) п-¹/2 раз транзитивен на X(см. [3]).

Лит.:[1] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [2] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; [3] Wiе1andt Н., Finite permutation groups, N. Y.L., 1964; [4] Passman D., Permutation groups, N. Y.Amst., 1968; [5] Higman D. G., Lecture on permutation representation, Giessen, 1977; [6] Cameron P. J., лBull. London Math. Soc.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985