Математическая энциклопедия - вейля метод

в теории чисел метод для получения нетривиальных оценок тригонометрич. сумм вида

где

а an,...,a1 любые действительные числа. В. м. был разработан Г. Вейлем [1] для установления критериев равномерного распределения (см. Вейля критерий).

Сущность В. м. заключается в следующем. Сумма (1) возвышается в степень путем последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена . Напр., на первом шаге

где суммирования производятся по интервалам длины ,

является многочленом степени относительно (символы обозначают величины порядка Р). На (n1)-м шаге приходят к внутренней сумме

где Суммы вида (2) оцениваются с помощью неравенства:

В результате получается оценка:

Из неравенства (3) выводятся различные оценки суммы (1) в случае, когда будет величиной малой по сравнению с Р. Эти оценки зависят от точности, с к-рой коэффициент многочлена аппроксимируется рациональными дробями.

Пример. Пусть

Тогда имеет место неравенство

'

В частности, если

то

В. м. позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки (3) и ее следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена . Решение Варинга проблемы, данное в 1919 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литл-вудом (J. Е. Littlewood), опиралось на оценки сумм (1) с помощью В. м. При этом им удалось оценить значения , для к-рых уравнение

( целое, -целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки (3) на случай функций , не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению нек-рых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотич. формуле для числа простых чисел, не превосходящих N).

Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью В. м., объясняется высокой степенью r0, в к-рую возвышается сумма S(f). Нек-рое усовершенствование оценок сумм (1) дал И. ван дер Корпют (J. van der Corput). С помощью Виноградова метода получается весьма точная оценка сверху для интеграла

уже при ( константа, ). Из этой оценки (см. Виноградова теорема о среднем) выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля (1) (с понижающим множителем константа), недосягаемые для В. м.

Лит.:[1] Wеуl Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313 52; [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. Б. М. Бредихин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985