Математическая энциклопедия - вейерштрасса теорема

1) В. т. о бесконечном про и введении [1]: для любой наперед заданной последовательности точек плоскости комплексного переменного

существует целая функция, имеющая нулями точки этой последовательности и только пх. Эта функция может быть построена в виде канонического произведения

где кратность нуля в последовательности (1), а

Множители

наз. первичными, или примарными, множителями Вейерштрасса. Показатели в них выбираются так, чтобы обеспечить сходимость произведения (2), напр., выбор обеспечивает сходимость (2) для любой последовательности вида (1). Из этой теоремы вытекает также, что любая целая функция с нулями (1) имеет вид

где канонич. произведение (2), а нек-рая целая функция (см. также Адамара теорема о целых функциях).

В. т. о бесконечном произведении обобщается на случай произвольной области : какова бы ни была последовательность точек , не имеющая предельных точек в D, существует голоморфная в Dфункция , имеющая нули в точках и только в них.

Утверждение теоремы в части, касающейся существования целой функции с произвольно заданными нулями, обобщается следующим образом на функции многих комплексных переменных; пусть каждой точке комплексного пространства поставлена в соответствие нек-рая ее окрестность п голоморфная в функция . При этом, если пересечение окрестностей точек , не пусто, то отношение в есть голоморфная функция. При этих условиях существует целая функция в такая, что отношение есть голоморфная функция в любой точке . Это утверждение известно как вторая теорема Кузена (см. также Кузена проблемы).

Лит.:[1] Weierstrass К., Math. Werke, Bd 2, В., 1895; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.

2) В. т. о приближении функций: для любой действительной непрерывной на отрезке функции существует последовательность алгебра-ич. многочленов равномерно сходящаяся на к функции ; установлена К. Вейерштрассом [1].

Аналогичные результаты имеют место во всех пространствах . Усилением этой В. т. является Джексона теорема.

Эта теорема справедлива также для действительных непрерывных -периодич. функций и тригонометрич. полиномов или, напр., для действительных функций, непрерывных на ограниченной замкнутой области т- мерного пространства, и многочленов от тпеременных. Об обобщениях см. Вейерштрасса Стоуна теорема. О приближении функций комплексного переменного многочленами см. [3].

Лит.:[1] Weierstrass К., "Sitzungsber. Acad. Berlin". 1885, S. 633-9, 789-805; 12] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976. Ю. Н. Субботин.

3) В. т. о равно мерно сходящихся рядах аналитических функций [1]: если члены ряда

равномерно сходящегося внутри области Dкомплексной плоскости , являются аналитич. функциями в D, то его сумма s(z) также является аналитич. функцией в D. Кроме того, ряды

полученные m-кратным почленным дифференцированием ряда (*) при любом т, также равномерно сходятся внутри Dк производным от суммы ряда (*). Эта теорема обобщается на ряды аналитич. функций многих комплексных переменных, равномерно сходящиеся внутри области Dкомплексного пространства , , причем ряды, составленные из частных производных любого порядка от членов ряда (*), сходятся равномерно к соответствующим частным производным от суммы ряда:

Е. Д. Соломснцсе.

4) В. т. о равно мерной сход и мост и на границе области [1]: если члены ряда

непрерывны в замкнутой ограниченной области комплексной плоскости и аналитичны в , то из равномерной сходимости этого ряда на границе области вытекает его равномерная сходимость в замкнутой области .

Это свойство рядов, составленных из аналитич. функций, остается справедливым и для аналитич. или гармония, функций, заданных соответственно в областях комплексного пространства или евклидова пространства . Вообще, оно остается справедливым в любой ситуации, где применим максимума модуля принцип.

Лит.:[1] Weierstrass К., Abhandlungen aus der Funktionenlehre, В., 1860; Math. Wcrke, Bd 2, B" 1895; [2J Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ш. Н., Курс современного анализа, 2 изд., пер. с англ., ч. 1, М., 1963, гл. 3; [3] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 3, т. 2, М., 1968, гл. 7. Е. Д. Соломенцев.

5) В. т. подготовительная теорема, полученная К. Вейерштрассом [1] и сформулированная им первоначально в 1860 как подготовительная лемма при доказательстве существования и аналитичности неявной функции комплексного переменного, определяемой уравнением , левая часть к-рого есть голоморфная функция двух комплексных переменных. Эта теорема обобщает на функции многих комплексных переменных следующее важное свойство голоморфных функций одного комплексного переменного: если голоморфная функция от в окрестности начала координат и то она представима в виде , где кратность нуля в начале координат, , а голоморфная функция отлична от нуля в нек-рой окрестности начала.

Формулировка подготовительной теоремы Вейерштрасса для функций пкомплексных переменных, Пусть