Математическая энциклопедия - вейбулла распределение

специальный вид распределения вероятностей случайных величин ; характеризуется функцией распределения

где параметр формы кривой распределения, параметр масштаба, параметр сдвига. Семейство распределений (*) названо по имени В. Вейбулла [1], впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостпых испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения (*). В. р. принадлежит к асимптотич. распределению третьего типа крайних членов вариационного ряда. Оно широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники. Частными случаями В. р. являются экспоненциальное (р=1) и рэлеевское (р=2) распределения. Кривые функции распределения (*) не принадлежат семейству распределений Пирсона. Имеются вспомогательные таблицы для вычислений функции распределения Вейбулла (см. [2]). При квантиль уровня qравна

где гамма-функция; коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс не зависят от , что облегчает их табулирование и создание вспомогательных таблиц для получения оценок параметров. При В. р. унимодально, мода равна , а функция опасности отказов не убывает. При функция монотонно убывает. Можно построить так. наз. вероятностную бумагу Вейбулла (см. [3]). На ней трансформируется в прямую, при образ имеет вогнутость, а при выпуклость. Оценки параметров В. р. по методу квантилей приводят к уравнениям существенно более простым, чем по методу максимального правдоподобия. Совместная асимптотич. эффективность оценок параметров и (при ) по методу квантилей максимальна (и равна 0,64) при . использовании квантилей уровня 0,24 и 0,93. Функция распределения (*) хорошо аппроксимируется функцией распределения логнормального распределения

( функция распределения нормированного нормального распределения,):

Лит:[1]Weibull W., A statistical theory of the strength of materials, Stockh., 1939; [2] Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности, М., 1965; [3] Jоhnsоn L., The statistical treatment of fatigue experiments, Amst., 1964; [4] Крамер Г Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М , 1975. Ю. К. Беляев, Е. В. Чепурин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985