Математическая энциклопедия - аффинная связность

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство имеет типовым слоем аффинное пространство размерности . Структурой такого Ек каждой точке присоединяется экземпляр аффинного пространства , к-рый отождествляется с касательным центроаффинным пространством . А. с. предусматривает такое сопоставление каждой гладкой кривой с началом и каждой ее точке аффинного отображения , что удовлетворяется ниже сформулированное условие. Пусть Мпокрыто координатными областями, в каждой из к-рых фиксировано гладкое поле аффинного репера в , у к-рого начало совпадает с (т. е. фиксированы пгладких векторных полей, линейно независимых в каждой точке области). Требуется, чтобы при , когда перемещается по до , отображение стремилось к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего определялось относительно некоторого из реперов системой линейных дифференциальных форм

Итак, образом при репера в точке является система из точки в с радиус-вектором

и пвекторов где X - касательный вектор к Lв точке х 0 , причем

Многообразие Мс заданной на ней А. с. наз. пространством аффинной связности. При преобразовании репера поля в произвольной точке согласно формулам т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства Рреперов в касательных пространствах с началами в точке , формы (1) заменяются следующими 1-формами на Р:

а 2-формы

преобразуются так:

где и составлены согласно (3) из форм (2). Уравнения (3) называются структурными уравнениями А. с. на М, где левые части так наз.

кручения формы и кривизны формы - полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями :

Любые 1-формы заданные на Ри удовлетворяющие уравнениям (3) с левыми частями вида (4), определяют нек-рую А. с. на М. Отображение для кривой получается следующим ооразом: нужно выбрать нек-рое гладкое поле репера в координатной окрестности начала кривой L, п образ репера в точке определить как решение системы

при начальных условиях уравнения кривой L. Кривая, описываемая в точкой с радиус-вектором относительно , наз. разверткой кривой L. Поле репера в координатной окрестности можно выбрать так, чтобы тогда На пересечении координатных окрестностей

и

Здесь и составляют, соответственно, кручения тензор и кривизны тензор А. с. на М. А. с. на Мможет быть задана системой функций на каждой координатной окрестности, преобразующейся на пересечении окрестностей по формуле (5) так наз. объектом А. с. Отображение получается с помощью системы (5), в к-рую следует подставить

Если в нек-рой окрестности точки дано векторное поле , то при вектор отображается в вектор (где решение системы (5)), дифференциал к-рого в при :

наз. ковариантным дифференциалом поля Xотносительно данной А. с. Здесь

образуют тензорное поле, наз. ковариантной производной поля Если дано второе векторное поле то определяется ковариантная производная поля X в направлении Y:

к-рая относительно произвольного поля репера может быть определена также формулой