Математическая энциклопедия - аффинное преобразование

евклидова пространства взаимно однозначное точечное отображение плоскости или пространства на себя, при к-ром трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют три точки, также лежащие на одной прямой. Таким образом, при А. п. прямые переходят в прямые. А. п. плоскости переводит пересекающиеся прямые в пересекающиеся, параллельные в параллельные. При А. п. пространства каждая плоскость аффинно отображается на нек-рую плоскость; при этом пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные в параллельные. Кроме того, сохраняется взаимное расположение двух прямых: пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся, параллельные в параллельные, скрещивающиеся в скрещивающиеся.

При А. п. отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению их образов. Сохраняется также отношение площадей двух квадрируемых фигур (на евклидовой плоскости) и отношение объемов двух кубируемых тел (в евклидовом пространстве). При А. п. множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это отображение является линейным. А. п. задается в аффинной системе координат невырожденным (неоднородным) линейным преобразованием;таким образом, в случае плоскости А. п. аналитически выражаются при помощи формул

с дополнительным требованием

Аналогично задаются А. п. в пространстве.

При А. п. алгебрапч. линия переходит в алгебраическую; при этом порядок линии сохраняется. В частности, линия 2-го порядка переходит в линию 2-го порядка, причем эллипсы переходят в эллипсы, гиперболы-в гиперболы, параболы в параболы и т. д. Примеры А. п.: изометрич. преобразование, преобразование подобия, равномерное сжатие плоскости к прямой. Всякое А. п. плоскости является произведением изометрич. преобразования и двух равномерных сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым. Всякое А. п. пространства является произведением изометрич. преобразования и трех равномерных сжатий к трем попарно перпендикулярным плоскостям.

А. п. образуют группу; преобразования подобия составляют подгруппу этой группы; множество изометрич. преобразований подгруппу группы преобразований подобия.

А. п. являются самыми общими взаимно однозначными отображениями плоскости (пространства) на себя, сохраняющими прямые линии.

Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968: [2] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973. А. С. Пархоменко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985