Математическая энциклопедия - аффинное многообразие

аффинное алгебраическое многообразие,обобщение понятия аффинного алгебраического множества. А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного типа над полем k, т. е. , где А - коммутативная fe-алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. А. м. кольцо многочленов над полем k, наз. аффинным пространством над kи обозначается . Аффинная схема является А. м. тогда и только тогда, когда она изоморфна приведенной замкнутой подсхеме аффинного пространства. Каждая система образующих k-алгебры Аопределяет сюръективный гомоморфизм определяемый формулой Пусть алгебраич. замыкание поля k. Подмножество множества , состоящее из общих нулей всех многочленов идеала , является аффинным алгебраич. множеством над полем k. Координатное кольцо такого аффинного алгебраич. множества изоморфно кольцу А. В свою очередь каждое аффинное алгебраич. множество Xнад полем kопределяет А. м. , где координатное кольцо . При этом множество точек А. м. находится во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми подмногообразиями соответствующего аффинного алгебраич. множества.

С каждым А. м. связан функтор на категории k-алгебр, определяемый соответствием

В случае, когда (соответственно ), элементы множества (соответственно ) наз. геометрическим и (соответственно рациональными) точками А. м. X. Множество находится в биективном соответствии с множеством максимальных идеалов кольца , а также с множеством точек любого аффинного алгебраич. множества , координатное кольцо к-рого изоморфно . При этом спектральная топология в пространстве индуцирует на всюду плотном подмножестве топологию, к-рая соответствует топологии Зариского на V.

И. В. Долгачее.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985