Математическая энциклопедия - аффинная схема

обобщение понятия аффинного многообразия, играющее роль локального объекта в теории схем. Пусть А - коммутативное кольцо с единицей. Аффинная схема состоит из топо-логич. пространства Spec Аи пучка колец на Spec A. При этом Spec Аесть множество всех простых идеалов кольца А(называемых точками аффинной схем ы), наделенное Зариского топологией (или, что тоже, спектральной топологией), в к-рой базис открытых, множеств составляют подмножества когда пробегает элементы кольца А. Пучок локальных колец определяется условием где кольцо частных кольца Аотносительно, мультипликативной системы

А. с. введены А. Гротендиком [1] при построении теории схем. Схема есть окольцованное пространство, локально изоморфное А. с.

А. с. Spec Аназ. нётеровой А. с. (соответственно целостно и, приведенной, нормальной, регулярной), если кольцо Анётерово-(соответственно целостно, без нильпотентов, целозамкнуто, регулярно). А. с. наз. связной (соответственно неприводимой, дискретной, квазикомпактной), если таковым является топологич. пространство Spec А. Пространство Spec AА. с. всегда квазикомпактно.

А. с. образуют категорию, если морфизмами А. с. считать морфизмы этих схем как локально окольцованных пространств. Каждый гомоморфизм колец определяет морфизм А. с.: состоя щий из непрерывного отображения и гомоморфизма пучков колец переводящего сечение пучка над множеством в сечение Морфизмы произвольной схемы в А. с. (называемые также -значными точками схемы ) взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам колец тем самым сопоставление является контравариантным функтором из категории коммутативных колец с единицей в категорию А. с., устанавливающим антиэквивалентность этих категорий. В частности, в категории А. с. существуют конечные прямые суммы и расслоенные произведения, двойственные конструкциям прямой суммы и тензорного произведения колец. Морфизмы А. с., соответствующие сюръективным гомоморфизмам колец, наз. замкнутыми вложениями А. с.

Наиболее важными примерами А. с. являются аффинные многообразия; другими примерами служат аффинные групповые схемы.

Подобно тому, как строится пучок , для любого А-модуля может быть построен пучок -модулей на , для к-рого

Такие пучки являются квазикогерентными пучками. Категория -модулей эквивалентна категории квазикогерентных пучков -модулей на проективным модулям соответствуют локально свободные пучки. Ко-гомологии квазикогерентных пучков на А. с. описываются теоремой Серра:

Обращение этой теоремы критерий аффинности Серраутверждает, что если квазикомпактная отделимая схема и для любого квазикогерентного пучка -модулей есть А. с. Существуют и другие критерии аффинности (см. [1], [4]).

Лит.:[1] Grothendieck A., Elements de geometric algebrique, t. 1, P., 1960; [2] Дьедонне Ж., "Математика", 1965, т. 9, № 1, с. 54-126; [3] Манин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии, ч. 1, М., 1970; [4] Goodman J., Hartshorne R., "Amer. J. Math.", 1969, v.91, № 1, p. 258 66. В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985