Математическая энциклопедия - аффинное алгебраическое множество

, аффинное алгебраическое -множество,множество решений нек-рой системы алгеб-раич. уравнений. Пусть поле и его алгебраич. замыкание. Подмножество Xдекартова произведения наз. аффинным алгебраическим множеством, если его точки являются общими нулями нек-рого семейства S многочленов кольца. Множество всех многочленов из обращающихся в нуль на , образует идеал, к-рый наз. идеалом аффинного алгебраического -множества. Идеал совпадает с радикалом идеала , порожденного семейством S, т. е. с множеством таких многочленов для иек-рого натурального т. А. а. м. Xи Yсовпадают тогда и только тогда, когда А. а. м. Xможет быть задано системой образующих идеала В частности, всякое А. а. м. может быть задано конечным числом многочленов Равенства наз. уравнениями А. а. м. X. А. а. м. пространства образуют решетку относительно операций пересечения и объединения. При этом идеал пересечения совпадает с суммой идеалов , а идеал объединения с пересечением идеалов . Все множество является А. а. м., к-рое наз. аффинным пространством над полем kи обозначается ему соответствует нулевой идеал. Пустое подмножество множества тоже есть А. а. м. с единичным идеалом. Факторкольцо наз. координатным кольцом А. а. м. X. Оно отождествляется с кольцом k-регулярных функций на X, т. е. с кольцом -значных функций f : для к-рых существует такой многочлен что для всех . А. а. м. Xназ. неприводимым, если оно не является объединением двух собственных аффинных алгебраич. подмножеств. Эквивалентное определение состоит в том, что идеал должен быть простым. Неприводимые А. а. м. вместе с проективными алгебраич. множествами являлись объектами классической алгебраич. геометрии. Они наз. соответственно аффинными алгебраическими многообразиями и проективными алгебраическими многообразиями над полем k(или k-многообразиями). А. а. м. наделяются структурой топологич. пространства. Замкнутыми множествами этой топологии ( Зариского топологии).являются неприводимые аффинные алгебраич. подмножества. А. а. м. неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо как топологич. пространство. Дальнейшее развитие понятия А. а. м. приводит к понятиям аффинного многообразия и аффинной схемы.

Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

И. В. Долгачев, В. А. Исковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985