Математическая энциклопедия - аффинное пространство

над полем k - множество А(элементы к-рого наз. точками А. п.), к-рому сопоставлены векторное пространство над (наз. пространством присоединенным к А).и отображение множества в пространство (образ элемента обозначается и наз. вектором с началом аи концом b), обладающее свойствами:

для любой фиксированной точки аотображение является биекцией

для любых точек выполняется соотношение Шаля:

Размерностью А. п. A наз. размерность L. Точка и вектор определяют другую точку, обозначаемую т. е. аддитивная группа векторов пространства Lтранзитивно и свободно действует на А. п., соответствующем .

Примеры. 1) Множество векторов пространства является А. п. , присоединенное к нему пространство совпадает с . В частности, поле скаляров есть А. п. размерности 1. Если , то наз. гс-м ерным координатным А. п. над полем k, точки его определяют вектор

2) Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем kявляется А. п.

3) Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является А. п., присоединенным к к-рому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений.

Подмножество А. п. Аназ. аффинным подпространством (или линейным многообразием) в А, если множество векторов образует подпространство пространства Каждое аффинное подпространство имеет вид нек-рое подпространство в , а а - произвольный элемент из А'.

Отображение наз. аффинным, если существует линейное отображение присоединенных векторных пространств : такое, что для любых Биективное аффинное отображение наз. аффинным изоморфизмом. Все А. п. одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой.

Аффинные изоморфизмы А. п. A в себя образуют группу, наз. аффинной группой А. п. Аи обозначаемую . Аффинная группа А. п. обозначается . Каждый элемент задается формулой

где

обратимая матрица. Аффинная группа содержит инвариантную подгруппу, наз. подгруппой параллельных переносов,

состоящую из отображений , для к-рых отображение ср: является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства . Отображение определяет сюръективный гомоморфизм в общую линейную группу , ядром к-рого является подгруппа параллельных переносов. Если евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы наз. подгруппой евклидовых движе-н и п. Прообраз специальной линейной группы наз. экв и аффинной подгруппой (см. Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа состоящая из отображений таких, что для нек-рого и любых наз. центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе GL пространства L.

В аягебраич. геометрии А. п. также наз. аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное А. п. можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраич. множества, снабженного топологией Зариского.

Аналогично строится А. п., ассоциированное с векторным пространством над телом k.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962. И. В. Долгачев, А. П. Широков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985