Математическая энциклопедия - экстремалей поле

область (n+1)-мерного пространства переменных х, yl, . . . , у n, покрытая без пересечений n-рараметрич. семейством экстремалей функционала

где Аи Вначальные и конечные точки, через к-рые проходят экстремали семейства.

Различают случаи собственного (или общего) и центрального Э. п. Собственное Э. п. соответствует случаю, когда экстремали семейства трансверсальны нек-рой поверхности

т. е. на этой поверхности выполняются условия трансверсальности

Т. о., для собственного Э. п. точка . (или В)в (1) принадлежит поверхности (2) и в ней выполняются условия (3).

Центральное Э. п. соответствует случаю, кода экстремали семейства исходят из одной точки, находящейся вне поля, напр. из общей начальной точки А.

Наклоном Э. п. наз. вектор-функцию u( х, у)= (u1(x,у), . . ., и п( х, у)), относящую каждой точке ( х, у) =( х, y1, . . ., у n) поля вектор у' (х)= (у 1' (х),..., y п' (х)).

Для задач с подвижными концами, когда y(x) есть экстремаль, дифференциал интеграла (1) имеет вид

где дифференциалы dx и dy вычисляются вдоль линий смещения подвижных концов (х 1, y(x1)) и В(х 2, у( х 2)), а у'- угловой коэффициент касательной к экстремали y(х).

Выражение в квадратных скобках в (4) можно записать в виде

где

В Э. п. выражение (5) является полным дифференциалом нек-рой функции от х, y1, . . . , у n, поскольку имеют место равенства

Эта функция с точностью до постоянного слагаемого есть криволинейный интеграл

он наз. инвариантным интегралом Гильберта. В (6) через Собозначена произвольная кривая у(х), лежащая в Э. п. и соединяющая точки Аи В. Термин линвариантный

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985