Математическая энциклопедия - экстремальной метрики метод

один из основных методов геометрич. теории функций, тесно связанный с дифференциальной геометрией и топологией. В основе Э. м. м. лежат соотношения между длинами кривых, принадлежащих определенным гомотопич. классам, и площади заполняемой ими области. При этом указанные кривые и площади вычисляются в специальной метрике, соответствующей особенностям исследуемой экстремальной задачи (об экстремальных задачах геометрич. теории функций см. Однолистная функция).

Имеются различные формы Э. м. м. Первоначальной формой этого метода был метод полос Грётша. Он представляет собой существенное усовершенствование рассуждений, связывающих длину и площадь, оперирующее с характеристич. конформными инвариантами двусвязных областей и четырехугольников (см. Грётша принцип). Используя свой метод полос, X. Грётш (Н. Grotzsch) получил ряд классич. результатов в теории конформных и квазиконформных отображений (см., напр., Грётша теоремы).

Существенными моментами в развитии Э. м. м. послужили: введение Л. Альфорсом (L. Ahlfors) и А. Бёр-лингом (A. Beurling) понятия экстремальной длины семейства кривых, предложенное Дж. Дженкинсом (J. Jenkins) обобщение понятия модуля семейства кривых на случай нескольких семейств кривых и доказательство единственности экстремальной метрики проблемы модуля в этом случае.

В 1939-41 О. Тайхмюллер (О. Teichmuller) высказал (без доказательства) общий принцип, состоящий в утверждении, что решения экстремальных задач геометрич. теории функций определенным образом связаны с нек-рыми квадратичными дифференциалами. Одним из самых значительных результатов в развитии Э. м. м. явилась лобщая теорема о коэффициентах

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985