Математическая энциклопедия - экстремальные свойства полиномов

свойства алгебраических, тригонометрических или обобщенных полиномов, к-рые выделяют их в качестве решений нек-рых экстремальных задач.

Напр., Чебышева многочлены имеют наименьшую норму в пространстве С([ -1, 1]) среди всех алгебраич. многочленов степени псо старшим коэффициентом, равным 2ⁿ-1 (П. Л. Чебышев, 1853) и, таким образом, являются решением следующей экстремальной задачи

Иначе говоря, многочлен Т n наименее уклоняется от нуля в пространстве С([-1, 1]) среди всех многочленов степени псо старшим коэффициентом, равным 2ⁿ-1.

Экстремальные задачи на пространствах многочленов в значительной части исследуются в пространствах При этом наиболее известные результаты связаны со случаями р=1, 2 и (метрика С). В частности, в этих метриках решен вопрос о явном виде многочленов, наименее уклоняющихся от нуля. В метрике L1 это многочлены Чебышева 2-го рода, в метрике L2 Лежандра многочлены, о метрике Ссм. выше. Описано также множество классических ортогональных многочленов, являющихся многочленами наименее уклоняющимися от нуля в пространстве L2 с весом ( Лагерра многочлены, Эрмита многочлены, Якоби многочлены и т. п.)

Е. И. Золотарев (1877) рассмотрел вопрос о многочленах вида (с двумя фиксированными старшими коэффициентами), наименее уклоняющихся от нуля в метрике С. Он нашел однопараметрич. семейство многочленов, решающих эту задачу, выразив их через эллпитич. функции.

Многочлены Чебышева экстремальны в задаче о неравенстве для производных, а именно, имеет место следующее точное Маркова неравенство (где Pn многочлен степени

в к-ром равенство достигается на Т п. Неравенство (*) для k=l доказал А. А. Марков (1889), для остальных k - В. А. Марков (1892). О подобном неравенстве для тригонометрия, полиномов см. Бернштейна неравенство.

Нек-рые экстремальные свойства алгебраических и тригонометрических полиномов в равномерной метрике переносятся на чебышевские системы функций (см. [2]). О теории экстремальных задач и Э. с. п. см. [6].

Лит.:[1] Чебышeв П. Л., Полн. собр. соч., т. 2-3, М.Л., 1947 48; [2] Бериштейн С. Н., Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных Функций одной вещественной переменной, ч. 1, Л.М., 1937; [3] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [4] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [5] Вороновская Е. В., Метод функционалов и его приложения, Л., 1963; [6] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976.

В. М. Тихомиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985