Математическая энциклопедия - экспоненциальная топология

слабейшая топология на множестве ехр Х=2 ^Х всех замкнутых подмножеств тонологич. пространства X, в к-рой множества ехр . открыты (в ехр X)для открытых Аи замкнуты (в ехр X) для замкнутых А. Если то через ехр Aобозначается множество всех замкнутых подмножеств множества А.

Пример. Топология метрич. пространства замкнутых ограниченных подмножеств метрич. пространства, наделенное Хаусдорфова метрикой. Общее определение: пусть U1, ... , Un - произвольный конечный набор непустых открытых в Xмножеств; базу Э. т. образуют множества вида

где Fобозначает точку ехр X, соответствующую данному замкнутому множеству Пространство ехр Х, наделенное Э. т., наз. экспонентой пространства X. Если Xесть Т 1 -пространство, то ехр Xтакже Т 1 -пространство. Если Xрегулярно, то ехр . хаусдорфово. Если Xнормально, то ехр Xвполне ре гулярно. Для Э. т. нормальность эквивалентна ее бикомпактности. Если пространство Xбикомпактно, то ехр Xтакже бикомпактно. Если X - диадический бикомпакт и вес Xне превосходит то ехр X - также диадический бикомпакт. С другой стороны, экспонента любого бикомпакта, вес к-рого больше или равен не является диадическим бикомпактом. Экспонента континуума Пеано является абсолютным ретрактом в классе метрич. компактов и, следовательно, непрерывным образом отрезка. Однако экспонента несчетного виса не является непрерывным образом тихоновского куба Пусть замкнутое отображение пространства Xна пространство Y. Отображение ехр действующее по правилу наз. экспонентой отображения. Если непрерывное отображение бикомпакта Xна бикомпакт Y, то оно открыто тогда и только тогда, когда открыто отображение ехр f. Функтор ехр X, действующий из категории бикомпактов и непрерывных отображений в ту же самую категорию, является ковариантным функтором экспоненциального типа, если морфизму ставится экспонента этого морфизма ехр f.

Лит.:[1] Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1-2, М., 1966-69

В. А. Ефимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985