Математическая энциклопедия - эксцесса коэффициент

, эксцесс,скалярная характеристика островершинности графика плотности вероятности унимодального распределения, к-рую используют в качестве нек-рой меры отклонения рассматриваемого распределения от нормального. Э. к. определяется по формуле

где есть 2-й коэффициент Пирсона, и 2-й и 4-й центральные моменты вероятностного распределения. В терминах семиинвариантов (кумулянтов) и второго и четвертого порядков Э. к. имеет вид

Если то говорят, что плотность вероятности распределения имеет нормальный эксцесс, ибо для нормального распределения Э. к. В случае, если Э. к. то говорят, что плотность вероятности имеет положительный эксцесс, что, как правило, соответствует тому, что график плотности рассматриваемого распределения в окрестности моды имеет более острую и более высокую вершину, чем нормальная кривая. В случае, когда говорят об отрицательном эксцессе плотности, при этом плотность вероятности имеет в окрестности моды более низкую и плоскую вершину, чем плотность нормального закона.

Если X1, X2, . ..., Х п - независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же непрерывному вероятностному закону, то статистика

наз. выборочным коэффициентом эксцесса, где

Выборочный Э. к.используется и качестве точечной статистич. оценки Э. к. когда закон распределения случайной величины Xi неизвестен. В случае нормальной распределенности случайных величин X1, . . ., Х n выборочный Э. к. асимптотически нормально распределен при с параметрами

и

Именно поэтому, если наблюденное значение выборочного Э. к. существенно отличается от 0, то следует признать, что распределение случайной величины Xi отлично от нормального, чем и пользуются на практике при проверке гипотезы принятие к-рой равносильно признанию отклонения распределения случайной величины Xi от нормального.

Лит.:[1] Кендалл М. Дж., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [2] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983.

М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985