Математическая энциклопедия - экстремальные свойства функций

свойства отдельных функций, к-рые выделяют их как решения нек-рых экстремальных задач. Большинство специальных функций, возникших в математич. анализе могут быть охарактеризованы нек-рым экстремальным свойством. Таковы, напр., экстремальные свойства полинимов:классич. Лагерра многочлены, Лежандра многочлены, Чебышева многочлены, Эрмита многочлены, Якоби многочлены можно охарактеризовать как многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля в пространстве L2 с весом.

Классич. полиномы являются обычно решениями разных экстремальных задач, нередко возникающих в отдаленных областях анализа. Так, напр., многочлены Чебышева экстремальны в задаче о неравенстве для производных многочленов (см. [1], Маркова неравенство). То же можно сказать и о др. специальных функциях. Многие из них являются собственными функциями для дифференциальных операторов, т.

е. являются решением нек-рой изопериметрической задачи. При этом, наиболее известные специальные функции так или иначе связаны с наличием нек-рой инвариантной структуры (см. Гармонический анализ абстрактный), когда они являются собственными функциями Лапласа Бельтрами уравнения, инвариантного относительно сдвигов.

Таковы тригонометрич. полиномы, сферич. функции, цилиндрич. функции и др. (см. [2]). Большинство Э. с. ф. может быть сформулировано в виде нек-рого точного неравенства.

С экстремальными задачами теории приближений связаны Бернштейна неравенство, Бора Фавара неравенство и др.

В частности, неравенство Бора Фавара отражает экстремальное свойство Бернулли многочленов. Э. с. ф. изучаются в теории приближении (см. [6], [7]), в теории численного интегрирования (см. [8]). Сплайны могут быть охарактеризованы различными экстремальными свойствами (см. [9]). Многие специальные сплайны обладают рядом экстремальных свойств, касающихся аппроксимации и интерполяции классов функций (см.

[7], [8]). Многие Э. с. ф. изучают в комплексном анализе. В частности, Кебе функция является экстремальной функцией ряда задач теории однолистных функций. См. также Изoпериметрическое неравенство, Вложения теоремы.

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной, ч. 1, Л.М., 1937; [2] Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлении групп, М., 1965; [3] Харди Г. Г., Литтльвуд Д. .