Математическая энциклопедия - экстремалей семейство

совокупность решений Эйлера уравнений, зависящая от ппроизвольных постоянных, заполняющая без взаимных пересечений нек-рую часть (n+1)-мерного пространства. Здесь пчисло неизвестных функций у i (х), i=l, . . . , п, от к-рых зависит минимизируемый функционал

а уравнение Эйлера понимается в векторном смысле, то есть представляет собой систему побыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

Ниже приводятся два способа построения Э. с.

Пусть рассматривается пучок экстремалей, выходящих из изданной точки M0(x0, y0) в (п+1)-мерном пространстве. Если экстремали пучка взаимно не пересекаются в нек-рой окрестности точки М 0 (кроме точки М 0), то они в этой окрестности образуют семейство экстремалей (центральное Э. с.).

Другой способ построения экстремалей состоит в построении множества экстремален, трансверсальных к поверхности S0, заданной в (n+1)-мерном пространстве уравнением

Если в каждой точке этой поверхности условия трансверсальности

представляющие совокупность пусловий, определяют значения ппроизводных y'i, n=1, ... , п, то, принимая эти значения за начальные значения производных, можно через точку поверхности S0 провести экстремаль, к-рая пересекается с поверхностью S0 трансверсально. Если в окрестности этой поверхности указанные экстремали взаимно не пересекаются, то они образуют Э. с. (общее, или собственное Э. с.).

Построение Э. с. является исходным пунктом при рассмотрении вопросов, связанных с построением ноля экстремалей. Э. с. является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, зависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства.

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957.

И. В. Banняpcкuй.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985