Математическая энциклопедия - экспоненциальное отображение

отображение касательного пространства многообразия Мв М, определяемое заданной на М связностью и являющееся далеко идущим обобщением обычной экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение прямой в себя.

1) Пусть М - многообразие класса с аффинной связностью, р - нек-рая точка из М, М р - касательное пространство к многообразию Мв точке ри X - ненулевой вектор из геодезическая, проходящая через точку р в направлении вектора X. Существует такая открытая окрестность N0 точки 0 в М р и такая открытая окрестность N р точки рв М, что отображение является диффеоморфизмом N0 на N р. Это отображение называется Э. о. в точке р и обозначается Ехр. Окрестность N0 наз. нормальной, если: 1) отображение Ехр диффеоморфно отображает N0 на N р,2) если и то В этом случае N р - нормальная окрестность точки . в многообразии М. Каждая точка обладает выпуклой нормальной окрестностью N р точки р: любые две точки такой окрестности можно соединить в точности одним геодезич. отрезком, содержащимся в N р. Если М - полное риманово многообразие, то Ехр есть сюръективное отображение М р на М.

2)Пусть Gгруппа Ли с единицей еи g - соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векторов к G в точке е. Для каждого вектора существует единственный аналитич. омоморфизм группы в Gтакой, что касательный вектор к в точке есовпадает с X. Отображение и наз. Э. о. алгебры gв группу G. Существует такая открытая окрестность N0 точки 0 в gи такая открытая окрестность N е точки ев G, что ехр является аналитич. диффеоморфизмом окрестности N0 на Ne. Пусть Х 1, ... , Х п - нек-рый базис алгебры g. Отображение есть система координат на Ne, эти координаты наз. каноническими.

К понятию Э. о. для группы Ли G можно подойти и с другой точки зрения. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех аффинных связностей на G, инвариантных относительно группы левых сдвигов, и множеством билинейных функций Оказывается, что Э. о. ехр алгебры gв группу G совпадают с отображением Ехр касательного пространства gк многообразию . в точке ев это многообразие относительно лсвоинвариантной аффинной связности, отвечающей любой кососимметричной билинейной функции

Лит.:[1] Xелгасoн С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.

А. С. Феденко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985