Математическая энциклопедия - экстремальная длина

семейства кривых понятие, являющееся, наряду с понятием модуля семейства кривых, общей формой определения конформных инвариантов и лежащее в основе экстремальной метрики метода.

Пусть Г семейство локально спрямляемых кривых на римановой поверхности R. Для Г определена проблема модуля, если имеется непустой класс Р конформно-инвариантных метрик заданных на R, для к-рых r(z) интегрируема с квадратом в плоскости z для каждого локального униформизирующего параметра z(=x+iy), причем

не равны одновременно 0 или (каждый из указанных интегралов понимается как интеграл Лебега). В этом случае величина

наз. модулем семейства кривых Г. Величина, обратная к М(Г),наз. экстремальной длиной семейства кривых Г. Проблему модуля для семейства кривых часто определяют и следующим образом. Пусть PL - такой подкласс Р, что для и

Если множество PL не пусто, то под модулем семейства Г понимают величину

Если же Рне пусто, a PL пусто, то под М(Г) понимают Ниже имеется в виду последнее определение модуля. Пусть Г семейство локально спрямляемых кривых на римановой поверхности R, для к-рого определена проблема модуля, и Тогда каждая метрика из PL является допустимой метрикой проблемы модуля для семейства Г. Если в PL, существует метрика для к-рой

то эта метрика наз. экстремальной метрикой проблемы модуля для семейства кривых Г.

Основным из свойств модулей является конформная инвариантность.

Теорема 1. Пусть римановы поверхности . и R' конформно эквивалентны, f однолистное конформное отображение поверхности R на R'. Пусть Г семейство локально спрямляемых кривых, заданных на R, Г'сомейство образов кривых семейства Г при отображении f. Пусть для Гопределена проблема модуля и пусть модуль семейства Г равен М(Г).Тогда проблема модуля определена и для семейства Г' и М(Г')=M(Г).

Следующая теорема показывает, что если экстремальная метрика существует, то она, по существу, единственна .

Теорема 2. Пусть Г семейство локально спрямляемых кривых на римановой поверхности Rи для Г определена проблема модуля, и пусть Eсли и акстремальные метрики для этой проблемы модуля, то всюду на R, за исключением разве лишь подмножества R меры нуль,

Примеры модулей семейств кривых.

1) Пусть D - прямоугольник со сторонами а и b, и Г (соответственно, Г') семейство локально спрямляемых кривых в D, соединяющих стороны длины а(соответственно, стороны длины b). Тогда М(Г) = а/b, М (Г') = b/а.

2) Пусть D - круговое кольцо: r<|z|<1. Пусть Г класс спрямляемых жордановых кривых в D, разделяющих граничные компоненты D, а Г'класс локально спрямляемых кривых в D, соединяющих граничные компоненты D. Тогда а В обоих случаях М(Г) и М(Г') характеристические конформные инварианты области D. Поэтому М(Г) наз. модулем области . для класса кривых Г, М(Г') - модулем области . для класса кривых Г'.

Известна следующая связь между модулями семейств кривых при квазиконформном отображении. Пусть Г семейство кривых в нек-рой области D, Г'образ семейства Г при К- квазиконформном отображении области D. Тогда для модулей М(Г) и М (Г') семейств Г и Г' справедливы неравенства:

Важным для приложений оказывается обобщение понятия модуля для нескольких семейств кривых. Пусть Г 1, . . . , Г n семейства локально спрямляемых кривых на римановон поверхности R(как правило, Г 1, . . . , Г n соответствующие гомотопич. классы кривых). Пусть неотрицательные действительные числа, но все равные нули). Пусть Р({Г j}, класс конформно-инвариантных метрик на R, для к-рых интегрируема для каждого локального параметра z=x+iy и

Если множество не пусто, то говорят, что определена проблема модуля для семейств кривых и чисел В этом случае величина

наз. модулем этой проблемы. Если в существует метрика для к-рой

то она наз. экстремальной метрикой проблемы модуля

Модуль, определенный таким образом, также представляет собой конформный инвариант. Для таких модулей справедлива теорема единственности, аналогичная теореме 2. Доказано существование экстремальной метрики проблемы модуля при достаточно общих предположениях. Приведенное выше определение распространяется на случай семейств кривых Г 1, . . . , Г n рассматриваемых на поверхности R', получаемой удалением из Rконечного числа отмеченных точек а 1,..., aN, где семейства Г 1, . . . , Г k, состоят из замкнутых жордановых кривых, гомотопных на R' окружностям достаточно малых радиусов с центрами в соответствующих из отмеченных точек. Такая экстремально-метрическая проблема в сочетании с понятием приведенного модуля односвязной области Dотносительно точки (см. Модуль кольца )связана с теорией емкости плоских множеств.

Известны и другие обобщения и модификации понятия модуля семейства кривых (см. [6]-[10]). Понятие модуля семейства кривых распространено на случай пространственных кривых и поверхностей. При этом установлены теоремы единственности и ряд свойств этих модулей, в частности получен аналог неравенств (1) для K-квазиконформных отображений в пространстве (см. [9], [10]).

Лит.: [1] Ahlfоrs L. V., Веurling A., лActa math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985