Математическая энциклопедия - экстремально несвязное пространство

-пространство, в к-ром замыкание каждого открытого множества является открытым множеством. В регулярном Э. н. п. не существует сходящихся последовательностей без повторяющихся членов. Поэтому среди метрич. пространств только дискретные экстремально несвязны. Тем но менее Э. н. н. достаточно широко распространены: каждое тихоновское пространство можно представить как образ при совершенном неприводимом отображении нек-рого экстремально несвязного тихоновского пространства (см. Абсолют топологического пространства). Это означает, что экстремальная несвязность не сохраняется совершенными отображениями. Однако, образ Э. н. п. при непрерывном открытом отображении является Э. н. п.

Все регулярные Э. н. п. нульмерны, однако, в отличие от нульмерности, экстремальная несвязность не наследуется произвольными подпространствами, даже замкнутыми. Но всюду плотное подпространство Э. н. п. всегда само экстремально несвязно. Экстремальная несвязность плохо сочетается с топологич. однородностью. В частности, каждый экстремально несвязный топологически однородный бикомпакт конечен. Тем но менее существует недискретное Э. н. п., являющееся топологич. группой (при континуум-гипотезе даже счетной), где каждый бикомпакт, лежащий в них, непременно конечен. Поэтому каждая экстремально несвязная топологич. группа, пространство к-рой является k-пространством, дискретна.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974.

А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985