Математическая энциклопедия - кольцевая граница

подмножество Г пространства MA максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры А с единицей над полем С комплексных чисел, на к-ром модули Гелъфанда представлений а всех элементов достигают максимума. Напр., можно положить Г=М A (тривиальная граница). Интерес представляют нетривиальные границы с тем или иным свойством минимальности. Среди замкнутых границ существует минимальная дМ Aтакая замкнутая граница, что для каждой замкнутой границы Г; она наз. границей Шилова. Точки границы Шилова характеризуются тем, что для каждой окрестности такой точки xи каждого е>0 существует элемент для к-рого max|а| = 1 и вне V. Точки составляют "наиболее устойчивую" часть множества М A максимальных идеалов: если Вкоммутативное банахово расширение алгебры А, то максимальные идеалы (мультипликативные функционалы), отвечающие таким точкам, расширяются до максимальных идеалов (мультипликативных функционалов) алгебры В, тогда как за пределами дМ A такое расширение, вообще говоря, невозможно. Это обстоятельство аналогично устойчивости границы спектра ограниченного линейного оператора банахова пространства. Типичный пример: алгебра Асостоит из непрерывных функций в диске аналитических при |l|<1. В этом случае М A отождествляется с замкнутым диском, а дМ Aс его топологич. границей; максимальные идеалы, отвечающие внутренним точкам диска, не продолжаются до максимальных идеалов алгебры всех непрерывных функций на границе, в к-руго естественно (согласно принципу максимума) вкладывается А, а максимальные идеалы, отвечающие граничным точкам,продолжаются.

Подобно алгебрам аналитич. функций, для общих коммутативных банаховых алгебр имеет место локальный принцип максимума модуля: если Vоткрытое подмножество пространства Мд, то

для всех где замыкание п дVтопологич. граница множества Vв М A. Грубо говоря, это означает, что точка локального максимума непременно является точкой глобального максимума (нек-рого, быть может, другого элемента).

Понятие К. г. используется при изучении равномерных алгебр, т. е. замкнутых, разделяющих точки и содержащих константы подалгебр Аалгебры С(X)всех непрерывных функций на компакте X. В данной ситуации Для каждой точки

существует представляющая мера, сосредоточенная на границе Шилова, т. е. такая вероятностная мера m, что

при всех (это верно для произвольных коммутативных банаховых алгебр). В простейшем (описанном выше) случае диска и алгебры аналитич. функций последняя формула сводится к Пуассона формуле. Вообще говоря, представляющая мера m не единственна. Для точек x, принадлежащих одной и той же доле Глисона (см. Алгебра функций), меры m можно выбирать взаимно абсолютно непрерывными, что при нек-рых дополнительных условиях типа единственности представляющих мер позволяет наделять доли Глисона пространства максимальных идеалов одномерной аналитич. структурой, согласованной с алгеброй. Каждая точка границы Шилова равномерной алгебры составляет одноточечную долю Глисона, но обратное, вообще говоря, неверно.

Равенство дМ А=Х = М А для равномерных алгебр служит простейшим необходимым условием совпадения Ас С(Х). Без дополнительных предположений оно не является достаточным для такого совпадения даже в случае алгебр A = R(X)равномерных пределов рациональных функций на плоском компакте X.