Математическая энциклопедия - колмогорова критерий

статистический критерий, применяемый для проверки простой непараметрической гипотезы Н 0, согласно к-рой независимые одинаково распределенные случайные величины Х 1,..., Х п имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x), причем альтернативная гипотеза Н 1 предполагается двусторонней:

где математическое ожидание функции эмпирического распределения Fn(x). Критическое множество К. к. выражается неравенством

и основано на теореме, доказанной А. Н. Колмогоровым в 1933: в случае справедливости гипотезы Н 0 распределение статистики Dn не зависит от функции F(x), причем если то

где

В 1948 Н. В. Смирнов [4] табулировал функцию распределения Колмогорова К(l). Согласно К. к. с уровнем значимости a, 0<a<0,5, гипотезу Н 0 следует отвергнуть, если где ln(a) критическое значение К. к., соответствующее заданному уровню значимости а и являющееся корнем уравнения

Для определения ln(a) рекомендуется пользоваться аппроксимацией допредельного закона статистики Колмогорова Dn ее предельным распределением; см. [3], где показано, что если и то

Применение аппроксимации (*) дает следующее приближение критического значения

где z корень уравнения

На практике для вычисления значения статистики Dn пользуются тем обстоятельством, что

где

вариационный ряд, построенный по выборке X1, ... ,Х п. К. к. имеет следующее геометрич. истолкование (см. рис.).

Изобразим на плоскости хОу графики функций Fn(x), Заштрихованная область является доверительной зоной уровня 1-a. для функции распределения F(x), так как если гипотеза Н 0 верна, то согласно теореме Колмогорова

Если график функции F(x)не выходит из заштрихованной области, то по К. к. с уровнем значимости а гипотезу H0 следует принять, в противном случае гипотеза H0 отвергается.

К. к. дал мощный толчок развитию математич. статистики, в результате чего были получены совершенно новые методы статистич. исследований, к-рые легли в основу непараметрич. статистики.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Giorn. Istit. Ital. Attuari" 1933, v. 4, p. 83-91; [2] Смирнов Н. В., "Бюлл. МГУ", секц. А, 1939, т. 2, в. 2, с. 3-14; [3] Большев Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1963, т. 8, с. 129-55; [4] Большей Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985