Математическая энциклопедия - колмогорова уравнение

уравнение вида

(обратное, или первое, уравнение; s < t)или вида

(прямое, или второе, уравнение; t > s) для переходной функции [f=P(s, х; t, Г),

измеримое пространство] или ее плотности [f=p(s, x; t, Г), если она существует], к уравнению (1) для переходной функции P(s, x; t, Г) присоединяется условие

а к уравнению (2) условие

где I Г (х) индикатор множества Г; в этом случае оператор Asоператор, действующий в пространстве функций, а в пространстве обобщенных мер.

Для марковских процессов со счетным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода pij(s, t) = P{s, i; t,{j}) (из состояния iв момент s в состояние j в момент t), для к-рой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид:

где

В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5).

Другой важный класс процессов, для к-рых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция Р(s, x; t, Г), удовлетворяет следующим условиям:

а) для всякого и s>0 равномерно по s,s<t,

б) существуют функции a(s, x )и b(s, x )такие, что для всякого хи e>0 равномерно по s,s<t,

Тогда, если существует плотность p=p(s, x; t, у), то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по t>s и ) прямое уравнение

(называемое также уравнением Фоккера Планка), а обратное уравнение (по s<t и ) имеет следующий вид

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 1938, в. 5, с. 5-41; [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973.

А. Н. Ширяев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985