Математическая энциклопедия - колец многообразие

класс колец M, удовлетворяющих заданной системе полиномиальных тождеств. К. м. можно определить аксиоматически, как наследственный класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и полных прямых сумм (см. Алгебраических систем многообразие). Так как совокупность полиномиальных тождеств, выполнимых в данном кольце, образует вполне характеристич. идеал ( Т-идеал )свободного кольца, то существует взаимно однозначное соответствие между многообразиями колец и T-идеалами счетно порожденного свободного кольца. Если для К. м. имеет место включение то говорят, что Rявляется подмногообразием в M. Многообразие, соответствующее T-идеалу тождеств кольца А, наз., многообразием, порожденным кольцом А. Каждое многообразие колец порождается своим "универсальным объектом" свободным кольцом данного многообразия, к-рое обладает свободной системой образующих: всякое отображение множества свободных образующих в произвольное кольцо из многообразия продолжается до гомоморфизма.

Пусть М пмногообразие, порожденное алгеброй квадратных матриц порядка п. Для всякого многообразия ассоциативных колец нулевой характеристики (т. е. колец, аддитивная группа к-рых без кручения) существует такое натуральное число что но Многообразие колец наз. шпехтовым, если всякое его кольцо обладает конечным базисом тождеств. Многообразие, порожденное конечным ассоциативным кольцом или конечным кольцом Ли, является шпехтовым. Вопрос о том, всякое ли многообразие ассоциативных алгебр шпехтово, составляет содержание (пока открытой, 1978) проблемы Шпехта. Если многообразие порождено ассоциативной алгеброй с конечным числом образующих над полем нулевой характеристики и то шпехтово.

См. также РI -алгебра.

Лит.:[1] Procesi С, Rings with polynomial identities, N. Y., 1973; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. о англ., М., 1968.

В. Я. Латышев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985