Математическая энциклопедия - колеблющееся решение

решение x(t)дифференциального уравнения

обладающее свойством: для любого t1>t0 найдется точка t2>t1, при переходе через к-рую функция x(t)меняет знак. Во многих прикладных задачах возникает вопрос о существовании К. р. или о колеблемости всех решений уравнения (*). Известно много достаточных условий, при к-рых уравнение (*) имеет К. р. (см. [1] [3]). Напр., любое нетривиальное решение уравнения х"+2dx' + w² х=0 с постоянными коэффициентами колеблется, если d²<w²; любое нетривиальное решение уравнения

с w-периодическими коэффициентами колеблется, если

и на [0, w].

В ряде приложений возникает вопрос о К. р. (в определенном смысле) системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Напр., в теории регулирования изучают колеблемость относительно заданной гиперплоскости решений х(t)=(x1(t),..., xn(t))системы уравнений x'=f{t, x), т. е. вопрос о колеблемости функцииИзучают также [a, b]-колеблющиеся решения, при этом ограниченное решение x(t)системы х'=f(t, x )наз.[a, b]-колеблющимся, если функция s(t). колеблется и для любого найдутся точки t2 и t3 такие, что tl<t2<t3, s(t2)<a, s(t3)>b, причем a<0<b. Для системы (2) существуют и др. определения колеблемости решений.

Лит.:[1] Xартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [2] Swansоn С. А., Comparison and oscillation theory of linear differential equations, N. Y.L., 1968; [3] Кигурадзе И. Т., Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тб., 1975.

Ю. В. Номленко, Е. Л. Тонков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985