Математическая энциклопедия - колмогорова аксиома

, аксиома Т 0, самая слабая из всех отделимости аксиом в общей топологии; введена А. Н. Колмогоровым. Топология, пространство удовлетворяет этой аксиоме, или есть Т 0 -п ространство, пространство Колмогорова, если, каковы бы ни были две различные точки пространства, в этом пространстве существует открытое множество, содержащее одну из этих точек, но не содержащее другую. Если потребовать, чтобы каждая из двух (произвольно данных) точек содержалась в открытом множестве, не содержащем другую точку, то получим следующую по силе аксиому отделимости, называемую аксиомой T1; удовлетворяющие ей топологич. пространства наз. T1 -пространствами. Простейшим примером T0 -пространства, не являющегося T1 -пространством, служит связное двоеточие.

В T0 -пространстве одноточечные множества могут не быть замкнутыми; Т 1 -пространства могут быть определены как такие T0 -пространства, в к-рых все одноточечные множества замкнуты. Го-пространство, в к-ром пересечение любого числа открытых множеств открыто, наз. дискретным (в широком смысле) пространством. В таком и только в таком пространстве замыкание объединения любого числа множеств совпадает с объединением замыканий этих множеств. В любом дискретном пространстве и даже в любом пространстве Колмогорова может быть определен (частичный) порядок между его точками x и у: пишем если точка х содержится в замыкании одноточечного множества, состоящего из точки у. Обратно, определяя в произвольном частично упорядоченном множестве замыкание какой-либо точки х как множество всех точек и называя замыканием любого множества объединение замыканий всех его точек, получим дискретное пространство. Таким образом, изучение дискретных пространств равносильно изучению частично-упорядоченных множеств. К важным примерам дискретных пространств относятся симплициальные (и более общие) комплексы комбинаторной топологии: для симплексов х, уотношение порядка означает, что хесть грань (возможно, несобственная) симплекса у.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

В. И. Зайцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985