Математическая энциклопедия - кольца и алгебры

множества с двумя бинарными операциями, к-рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и противоположный элемент -хдля каждого элемента х),2) операция умножения в к-ром удовлетворяет правому и левому законам дистрибутивности относительно сложения, т. е. x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx, для любых элементов х, у, z из кольца. Если кольцо Кне имеет делителей нуля, т. е. ху неравно 0 для любых ненулевых элементов то множество всех ненулевых элементов кольца будет группоидом относительно умножения. Кольцо будет телом, если множество его ненулевых элементов образует группу относительно умножения. Кольцо Кназ. ассоциативным, если умножение в нем удовлетворяет закону ассоциативности, т. е. (xy)z=x(yz), для любых х, у, z из К. Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо наз. коммутативным. Единицей наз. такой элемент 1 кольца, что

для всех хО К. Кольцо, вообще говоря, не обязано обладать единицей. Любое тело является ассоциативным кольцом с единицей и без делителей нуля. Ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля и с единицей наз. областью целостности.

Пусть Ф произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1. Кольцо А(не обязательно ассоциативное) наз. алгеброй над Ф, или операторным кольцом с кольцом операторов Ф, если для любых элементов

однозначно определено произведение причем так, что для всех справедливы соотношения

Если кольцо Ф коммутативно, то принято требовать усиления последнего из условий (1):

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение па (где п-целое число) обычно, т. е. как Поэтому кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если Аалгебра над полем Ф, то, по определению, Аявляется векторным пространством над Ф, а значит, имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Алгебра над полем наз. конечномерной, если она имеет конечный базис, т. е. если она конечномерна как векторное пространство над своим полем.

Наиболее известными примерами алгебр являются алгебры квадратных матриц, алгебры многочленов и алгебры формальных степенных рядов над полями.

В теории К. и а., как и в любой другой алгебраич. теории, большую роль играют понятия гомоморфизма и изоморфизма. Многие рассуждения и описания проводятся "с точностью до изоморфизма", т. е. изоморфные кольца и алгебры не различаются. Понятие гомоморфизма тесно связано с понятиями идеала и подалгебры (подкольца).

Пусть Аи Вдве алгебры (над некоторым фиксированным кольцом Ф с единицей). Отображение j :множества Ав множество Вназ. гомоморфизмом алгебры Ав алгебру В, если оно "сохраняет операции алгебры", т. е.

для любых Гомоморфизм ф наз. изоморфизмом, если j взаимно однозначное отображение множества Ана множество В. Последнее равносильно тому, что образ гомоморфизма j:

вообще говоря, являющийся подалгеброй алгебры В, совпадает со всей алгеброй В, а ядро гомоморфизма j:

вообще говоря, являющееся двусторонним идеалом в Л, в этом случае нулевой идеал. Двусторонние идеалы алгебры Аи только они служат ядрами гомоморфизмов этой алтебры, а гомоморфные образы А, с точностью до изоморфизма, исчерпываются фактор-алгебрами алгебры Апо всевозможным ее двусторонним идеалам.

Переход от алгебры к ее подалгебрам и гомоморфным образам является одним из способов получения новых алгебр. Так, напр., из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем Ф можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над Ф. Среди других часто применяемых конструкций следует отметить прямые суммы, прямые и подпрямые произведения К. и а.

Историческая справка. Примерно до середины 19 в. были известны лишь отдельные примеры колец: числовые кольца, т. е. подкольца поля комплексных чисел, появившиеся в связи с потребностями теории алгебраич. уравнений, кольца вычетов целых чисел в теории чисел. Общего понятия кольца не существовало.

Первые примеры некоммутативных К. и а. встречаются (1843-44) в работах У. Р. Гамильтона (W. R. Hamilton) и Г. Грассмана (Н. Grassman). Это тело кватернионов, алгебра бикватернионов, внешняя алгебра. Начинает формироваться понятие гиперкомплексной системы, т. е., в современной терминологии, конечномерной ассоциативной алгебры над полем R. действительных чисел либо над полем С комплексных чисел. К 1870 в работах Б. Пирса (В. Peirce) появились понятия идемпотентного элемента ( идемпотента )и нильпотентного элемента и было доказано, что если не все элементы гиперкомплексной системы нильпотентны, то в ней имеется хотя бы один ненулевой идемпотент. Полученные результаты позволили развить "технику идемпотентов" и "пирсовских разложений", широко применявшихся при изучении конечномерных алгебр.

После 1870 начинается общее исследование гиперкомплексных систем. В работах Р. Дедекинда (R. Dedekind) встречается общее понятие (ассоциативного) кольца, тела и алгебры над полем (гиперкомплексной системы), хотя кольцо у него называлось не кольцом, а порядком. Термин "кольцо" был введен Д. Гильбертом (D. Hilbert) позднее. К. Вейерштрасс (К. Weierstrass) и Р. Дедекинд доказали, что любая конечномерная ассоциативно-коммутативная алгебра без нильпотентных элементов над полем действительных чисел является прямой суммой полей, изоморфных либо полю R действительных чисел, либо полю С комплексных чисел. Г. Фробениус (G. Frobenius) в 1878 доказал, что единственное некоммутативное тело конечной размерности над полем действительных чисел тело кватернионов.

К началу 20 в. в работах С. Э. Молина и Э. Картана (Е. Cartart) были получены наиболее значительные результаты по теории гиперкомплексных систем. К этому времени уже была достаточно развита теория гомоморфизмов, выяснена связь их с идеалами, появилось понятие прямой суммы алгебр. С. Э. Молин, рассматривая" конечномерные ассоциативные алгебры над полем С комплексных чисел, ввел понятие простой алгебры и доказал, что простые алгебры это в точности полные алгебры матриц над полем С. Он же ввел понятие радикала (теперь называемого классическим радикалом) и доказал, по существу, что если радикал алгебры равен нулю, то алгебра является прямой суммой простых алгебр. Эти результаты были вновь найдены Э. Картаном, к-рый, кроме того, распространил их на алгебры над полем Rдействительных чисел.

В начале 20 в. начинают рассматривать алгебры (ассоциативные и конечномерные) над произвольным полем, а не только над полями действительных или комплексных чисел. Дж. М. Веддерберн (J. M. Wedderburn), совершенствуя технику идемпотентов Пирса, перенес результаты С. Э. Молина и Э. Картана на случай произвольного поля. Он же доказал, что любое конечное тело коммутативно.

Наконец, в 20-30-х гг. 20 в. стали изучать произвольные ассоциативные кольца и алгебры. При этом большую роль начинают играть ледзые и правые идеалы колец. В. Крулль (W. Krull) и Э. Нётер (Е. Noether) в 1925-26 ввели и систематически использовали условие максимальности и мпнимальности-для левых идеалов. В 1927 Э. Артин (Е. Artin) перенес результаты Дж. М. Веддерберна о разложении полупростых алгебр на все ассоциативные кольца и алгебры, левые идеалы к-рых одновременно удовлетворяют и условию максимальности и условию минимальности. В 1929 Э. Нётер показала, что при этом достаточно требовать только условий минимальности. К 1939 было доказано, что при условии минимальности' (также как и при условии максимальности) радикал кольца является его наибольшим нильпотентным левым идеалом (см. Артиново кольцо, Нётерово кольцо). Таким образом, к 1940 теория Молина Картана Веддерберна была перенесена на случай ассоциативных колец и алгебр с условием минимальности для левых (или правых) идеалов.

Основные направления теории колец и алгебр. Структурная теория дает описание алгебр (как правило, удовлетворяющих нек-рым условиям конечности), представляя их в виде прямой суммы или подпрямого произведения более просто устроенных алгебр. К настоящему времени (70-е гг. 20 в.) для ассоциативных К. и а. классич. теория Молина Картана Веддерберна Артина перенесена на случай К. и а. с условием минимальности для главных левых идеалов. При этом же условии доказано, что если алгебра не имеет нильпотентных идеалов, то она разлагается в прямую (не обязательно конечную) сумму простых алгебр, а если она не имеет даже нильпотентных элементов, то в прямую сумму тел. В случае, когда алгебра имеет нильпотентные идеалы, ее строение значительно сложнее. Наиболее известной теоремой о таких алгебрах является Веддерберна Мальцева теорема"об отщеплении радикала" о разложении конечномерной ассоциативной алгебры в полупрямую сумму радикала и полупростой подалгебры. Содержательная структурная теория создана для альтернативных алгебр (см. Альтернативные кольца и алгебры), на к-рые фактически перенесена вся теория Молина Картана Веддерберна Артина, а также для йордановых алгебр.

Ряд структурных теорем получен и без условий конечности. Еще В. Крулль доказал, что любое ассоциативно-коммутативное кольцо без нильпотентных элементов разлагается в подпрямое произведение колец без делителей нуля. В дальнейшем было доказано, что в теореме Крулля требование коммутативности можно опустить, а затем был найден ряд критериев разложимости произвольной неассоциативной алгебры в подпрямое произведение алгебр без делителей нуля и алгебр с однозначным делением.