Математическая энциклопедия - колмогорова двойственность

двойственность в алгебраич. топологии, состоящая в изоморфизме

г-мерной группы гомологии Н r(A, G) замкнутого множества Ахаусдорфова локально компактного пространства Rс нулевыми rи (r+1)-мерными группами гомологии (r+1)-мерной группе гомологии с абелевой группой коэффициентов G дополнения и в изоморфизме

соответствующих групп когомологии при H^r(R,G)=0 и H^r+1(R, G)=0.

Группы гомологии и когомологии, участвующие в этих изоморфизмах, определяются так. За r-мерную цепь принимается любая кососимметрическая, аддитивная относительно каждого аргумента функция cr(e0, e1, . .., е r )от r+1 подмножеств пространства R, имеющих компактные замыкания, принимающая значения из G и равная нулю, когда пересечение пусто. Граничный оператор допределяется по формуле

где Uлюбое открытое множество из Л с компактным замыканием, содержащее Циклами считаются цепи с r с нулевыми границами, а циклами, гомологичными нулю,цепи с r, являющиеся границами, с r=дс r+1. Группа Zr(R, G )всех r-мерных циклов по обычному сложению функций содержит группу Br(R, G )всех r-мерных границ в качестве подгруппы, факторгруппа Zr(R, G)/Br(R, G )и есть группа Hr(R, G). Группу Gкоэффициентов А. Н. Колмогоров всегда рассматривал как компактную группу и компактно топологизировал и группу гомологии. Однако на построение группы гомологии топология группы коэффициентов не оказывает влияния, и гомологии можно брать над любой абелевой группой. Для определения коцепей рассматриваются такие кососимметрические функции f(x0, х 1,..., х r). от r+1 точек х 0, x1,..., х r пространства Rсо значениями в G, что для каждой f^r существует конечная система Sfr попарно непересекающихся подмножеств из Rс компактными замыканиями, удовлетворяющая условиям: f(x0,..., xr)=f(x'o, ..., x'r), если xi и х'i принадлежат одному и тому же элементу системы Sfr для любого i; f^r(x0, . .., х r) = 0, если хотя бы одно х; не содержится ни в каком элементе из Sfr. Кограничный оператор d определяется по формуле

Функции и считаются эквивалентными, если каждая точка х из Rимеет такую окрестность U, что f1^r(x0, ..., xr)=f2^r(x0,..., х r), как только все х i принадлежат U, и за коцепь принимается класс эквивалентных функций. Кограница коцепи определяется как класс кограниц входящих в эту коцепь функций. Коцикл есть коцепь с ^r с нулевой кограницей, d с ^r=0, а когомологичным нулю считается коцикл, являющийся кограницей, с ^r=d с ^r-1. Группа B^r(R, G )всех r-мерных кограниц есть подгруппа группы Z^r(R, G )всех r-мерных коциклов; факторгруппа Z^r(R, G)/Br(R, G )и есть группа H^r(R, G).

Определенные так группы гомологии и когомологии, часто называемые функциональными, были введены А. Н. Колмогоровым [1]. Тогда же, кроме выше указанных изоморфизмов двойственностей, им были доказаны двойственность между гомологиями и когомологиями Hr(R, G*)|H^r(R, G )в смысле теории характеров Понтрягина, когда компактная группа G* двойственна группе G, и двойственности Пуанкаре

где R - открытое n-мерное многообразие, Hr(R,G*) и H^r(R, G) - функциональные группы над компактной (соответственно, дискретной) группой G* (соответственно G),и группы когомологии (соответственно гомологии) бесконечных коцепей (соответственно конечных цепей) произвольного клеточного разбиения многообразия R.

В случае, когда Rесть га-мерное евклидово пространство, из указанных двойственностей получается теорема двойственности Понтрягина (см. Александера двойственность). Частным случаем этих двойственностей является и теорема двойственности Стинрода (см. Двойственность в алгебраич. топологии), поскольку К. д. для гомологии справедлива и для произвольной группы коэффициентов [2].

Функциональные группы гомологии изоморфны: группам Вьеториса (см. Вьеториса гомологии )в случае компактных метрич. пространств и компактной группы коэффициентов [1]; спектральным группам гомологии Александрова относительно особых подкомплексов [3] в случае локально компактных пространств и компактной группы коэффициентов [4] и, следовательно: группам гомологии Александрова Чеха одноточечной компактификации данного локально компактного пространства [5]; группам гомологии Стинрода [8] в случае компактных метрич. пространств и произвольной группы коэффициентов [7]. Таким образом, гомологии Колмогорова, введенные на четыре года раньше гомологии Стинрода, представляют собой и их обобщение на более широкий класс пространств.

Функциональные гомологии и когомологии удовлетворяют всем Стинрода Эйленберга аксиомам на категории локально компактных пространств с допустимыми отображениями (т. е. когда прообраз каждого компактного множества компактен) [6] и, кроме того, двум аксиомам Милнора на категории компактных метрич. пространств [7].

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "С. г. Acad. sci.", 1936, t 202 р 1144-4V 1325 27; 1558 60; 1641-43; [2] Мдзинаришвили Л. Д., "Докл. АН СССР", 1974, т. 216, № 3, с. 502-04; [3] Александров П. С, "Уч. зап. МГУ", 1940 т. 45, с. 1-60; [4] Чогошвили Г. С, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1951, т. 15, ЛЬ 5, с. 421 38; [5] Стинрод Н., Эйленберг С, Основания алгебраической топологии, М. 1958; [6] Балавадзе М. Б., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1972 т. 41 с. 5-40; [7] Мдзинаришвили Л. Д., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1972, т. 41, с. 143-63; [8] Steenrod N "Ann Math.", 1940 v. 41, p. 831 51.

Г. С. Чогошвили.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985