Математическая энциклопедия - коллокации метод

проекционный метод решения интегральных и дифференциальных уравнений, в к-ром приближенное решение определяется из условия удовлетворения уравнению в нек-рых заданных точках. Напр., для приближенного решения интегрального уравнения

выбираются нек-рое n-параметрич. семейство функций j(t, c1,..., с n) и нек-рые точки (узлы коллокации) t1, ..., tn на отрезке [ а, b]. Приближенное решение и n(t) =j(t, с 1, ..., с п )определяется из условий

представляющих собой систему пуравнений относительно неизвестных с 1, ..., с п. Если данное уравнение линейно, а приближенное решение ищется в виде линейной комбинации и n(t) = c1j1(t)+ ... +cnjn(t)заданных (так наз. координатных) функций j1, . .., jn, то и система уравнений относительно с 1, ..., с п получается линейная.

Сходимость К. м. для линейных краевых задач. Пусть поставлена краевая задача

Приближенное решение задачи разыскивается в виде

где jj(t)некоторый многочлен степени m+j-1, удовлетворяющий краевым условиям (2). Коэффициенты c1, ..., с п определяются из линейной системы

с чебышевскими узлами i = 1,... ,n.

Справедлива следующая теорема [1]. Пусть функции f и aj, j=1, ..., т, непрерывны на [ -1, 1] и пусть краевая задача (1), (2) имеет единственное решение u(t). Тогда существует n0 такое, что при система (3) однозначно разрешима, и

где c=const,

Аналогичный результат верен (см. [1]), если узлы корни ортогональных по какому-либо весу многочленов. При равноотстоящих узлах рассматриваемый метод расходится.

Развиваются также эффективные вычислительные схемы К. м. с координатными сплайн-функциями (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Приближенное решение операторных уравнений М., 1969; [2] Russеll R. D., Shampine L. F. "Numerische Mathematik", 1972, Bd 19, № 1, S. 1-28; [3] Вооr С. de, Swartz В., "SIAM Journal of Numerical Analysis" 1973 V. 10, № 4, p. 582-606.

Г. М. Вайникко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985