Математическая энциклопедия - переходная функция

, вероятность перехода, семейство мер, используемых в теории марковских процессов для определения распределения процесса в будущие моменты времени по известным состояниям в предшествующие моменты. Пусть измеримое пространство таково, что s-алгебра содержит все одноточечные подмножества из Е, и пусть Тподмножество действительной прямой R. Функция Р(s, x; t, B), заданная при и , наз. переходной функцией в измеримом пространстве , если: а) при фиксированных s, х, t она является мерой на , причем Р(s, х; t, В)1; б) при фиксированных s, t, В она является

-измеримой функцией точки х;в) . и для всех s, предельных для Тв правой топологии прямой R,

г) при всех и из Твыполняется уравнение Колмогорова Чепмена:

(*)

(в нек-рых случаях требование в) опускают или ослабляют). П. ф. наз. марковской переходной функцией, если , и субмарковской переходной функцией в противоположном случае. Если Ене более чем счетно, П. ф. задают с помощью матрицы вероятностей перехода (см. Переходные вероятности, Переходных вероятностей матрица). Нередко оказывается, что при любых допустимых s, х и tмера P(s, x', t, ^.) обладает плотностью p(s, x; t, ^.) относительно нек-рой меры. Если при этом выполнен следующий вариант уравнения (*):

для любых х, z из Еи из Т, то функцию p(s, х; t, у).наз. переходной плотностью.

При широких условиях (см. [1], [2]) с П. ф. P(s, x; t, В).можно связать марковский процесс Х=(xt,sz, ), для к-рого (в случае марковской П. ф. этот процесс не обрывается). Наоборот, марковское свойство случайного процесса, как правило, позволяет сопоставить ему П. ф. (см. [3]).

Пусть Тоднородно в том смысле, что совокупность значений t-s при из Тобразует полугруппу в Rотносительно сложения (напр., T-R, Т={ }, Т={0, 1, 2, ...}). Если при этом П. ф. P(s, x; t, В).зависит лишь от разности t-s, т. е. если P(s, x; t, B) = P(t-s, x, В), где P(t, x, B) - функция от подчиненная соответствующему варианту условий а) г), то Р(s, x; t, В). наз. однородной переходной функцией. Последнее название присваивается и функции P(t, x, В), для к-рой (*) принимает форму

Для нек-рых целей (напр., при регуляризации П. ф.) оказывается необходимым расширить определение П. ф. Напр., считают заданным семейство измеримых пространств а П. ф. относительно этого семейства определяют как функцию P(s, x; t, В), где , удовлетворяющую подходящей модификации условий а) г).

Лит.:[1] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [3] Кузнецов С. Е., "Теория вероятн. и ее примен.", 1980, т. 25, № 2, с. 389-93. М. Г. Шур.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985