Математическая энциклопедия - перрона - фробениуса теорема

: пусть действительная квадратная -матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве , не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть ее собственные значения, занумерованные так, что

Тогда:

1) число r=|l1| -простой положительный корень характеристич. многочлена матрицы А;

2) существует собственный вектор матрицы Ас положительными координатами, соответствующий r;

3) числа совпадают с точностью до нумерации с числами где ;

4) произведение любого собственного значения матрицы Ана ш есть собственное значение матрицы А;

5) при h>1 найдется перестановка строк и столбцов, приводящая матрицу Ак виду

где Aj - матрицы порядка nh^-1.0. Перрон доказал в [1] утверждения 1) и 2) для положительных матриц, а в полном объеме приведенную теорему доказал Ф. Фробениус в [2].

Лит.:[1] Реrrоn О., "Math. Ann.", 1907, Bd 64, S. 248263; [2] Frоbenius G., "Sitzungsber. der Kgl. Prcuss. Akad. Wise.", 1912, S. 456-77; [3] Гантмaxep Ф. P., Теория матриц, 3 изд., М., 1967. Д. А. Супруненко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985