Математическая энциклопедия - периодическая функция

функция, имеющая период. 1) Пусть функция f(x).определена на и имеет период Т. Для получения графика f(x) достаточно график функции f(x).на , где а - нек-рое число, переместить вдоль R на + Т, +2Т, ... . Если П. ф. f(x).с периодом Тимеет конечную производную f(х), то f^' (х).является П. ф. с тем же периодом. Пусть f(x).интегрируема на любом отрезке и имеет период Т.

Первообразная имеет период Т, если , в противном случае первообразная П. ф. непериодическая, такова, напр., первообразная функции f(x) = cos x+1. А. А. Конюшков.

2) П. ф. комплексного переменного z однозначная аналитич. ция f(z), имеющая только изолированные особые точки во всей плоскости комплексного переменного С, для к-рой существует число , называемое периодом функции f(z), такое, что

Любая линейная комбинация периодов данной П. ф. f(z) с целочисленными коэффициентами также является периодом f(z). Все периоды данной П. ф. f(z)const составляют дискретную абелеву группу по сложению, называемую группой периодов функции f(z). Если базис этой группы состоит из одного единственного основного, или примитивного, периода , т. е. если любой период ресть целое кратное 2w, то f(z) наз. однопериодической функцией. В случае базиса, состоящего из двух основных периодов , имеем двоякопериодическую функцию. Если П. ф. f(z) отлична от константы, то базис ее группы периодов не может состоять более чем из двух основных независимых периодов (теорема Якоби).

Любая полоса вида

где 2w один из основных периодов П. ф. f(z), или ей конгруэнтная, наз. полосой периодов функции f(z); обычно принимают a=p/2, т. е. рассматривают полосу периодов, стороны к-рой перпендикулярны основному периоду 2w. В каждой полосе периодов П. ф. принимает любое свое значение и притом одинаково часто.

Любая целая П. ф. f(z) во всей плоскости С разлагается в ряд Фурье

(*)

к-рый сходится равномерно и абсолютно на прямой и вообще на любой сколь угодно широкой полосе конечной ширины, параллельной этой прямой. Случай, когда целая П. ф. f(z) стремится к определенному конечному или бесконечному пределу в каждом из двух концов полосы периодов, характеризуется тем, что ряд (*) содержит лишь конечное число членов, то есть f(z) есть тригонометрич. полином.

Любая мероморфная П. ф. f(z) во всей плоскости С с основным периодом 2w представима в виде отношения двух целых П. ф. с тем же периодом, т. е. в виде отношения двух рядов вида (*). В частности, класс всех тригонометрич. функций можно описать как класс таких мероморфных П. ф. с периодом 2p, к-рые в каждой полосе периодов имеют лишь конечное число полюсов и стремятся к определенному пределу в каждом конце полосы периодов.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985