Математическая энциклопедия - переходных операторов полугруппа

полугруппа операторов, порождаемых переходной функцией марковского процесса. По переходной функции P(t, х, А).однородного марковского процесса Х=( х t, ) в фазовом пространстве можно построить нек-рые полугруппы линейных операторов P^t, действующих в том или ином банаховом пространстве (см., напр., [1]). Чаще всего в роли берут пространство ограниченных действительных функций f на Ес равномерной нормой (а для феллеровского процесса Xпространство непрерывных функций с той же нормой) или пространство V(Е).конечных счетно аддитивных функций j на с полной вариацией в качестве нормы. В первых двух случаях полагают

в третьем

(здесь f и j принадлежат соответствующим пространствам, ). Во всех этих случаях выполнено полугрупповое свойство: , и любая из трех полугрупп {Р ^t} наз. полугруппой переходных операторов.

В дальнейшем речь идет только о первом случае. Инфинитезимальный оператор Аполугруппы {P^t} (он же инфинитезимальный оператор процесса) определяется обычным образом:

для всех тех , для к-рых указанный предел существует как предел в . Предполагая, что P(t, х, А).при является измеримой функцией пары переменных (t, х), вводят резольвенту R^a процесса X,a>0:

(*)

Если при , то Ag=ag-f, где g=R^af. При определенных предположениях интеграл (*) существует и при a=0, причем g=R⁰f удовлетворяет "уравнению Пуассона" Ag = -f (но этой причине, в частности, R⁰f наз. потенциалом функции f)

Знание инфинитезимального оператора позволяет найти важные характеристики исходного процесса; более того, вопросы классификации марковских процессов сводятся к описанию соответствующих им инфинитезимальных операторов (см. [2], [3]). Немаловажно и то обстоятельство, что инфинитезимальный оператор входит в уравнения, позволяющие находить средние значения различных функционалов от процесса. Так, при нек-рых предположениях функция

является единственным не слишком быстро растущим по tрешением задачи , где математич. ожидание, отвечающее , Оператор Ародственен характеристическому оператору (см. [2]). Пусть X - непрерывный справа марковский процесс в топологич. пространстве Е, Для борелевской функции f полагают

если предел существует для всех , где Uпробегает систему окрестностей точки х, стягивающихся к х, и где t момент первого выхода Xиз U(при дробь, стоящую под знаком предела, приравнивают нулю). Во многих случаях вычисление Af сводится к вычислению .

Лит.:[1] Feller W., "Ann. Math.", 1952, v. 55, p. 468 519; [2] Дынкин Е. Б., Основания теории марковских процессов, М., 1959; [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессом, т. 2, М., 1973. М. Г. Шур.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985