Математическая энциклопедия - периодическая точка

динамической системы точка траектории периодич. движения динамич. системы f^t ( или ), заданной на пространстве S, т. е. такая точка , что найдется число T>0, для к-рого f^Tx=x, но при . Это число Тназ. периодом точки x (иногда периодами наз. также все целые кратные числа Т).

Траектория П. т. наз. замкнутой траекторией, или циклом. При употреблении последних терминов часто отвлекаются от конкретной параметризации множества точек траектории параметром t, рассматривая тот или иной класс эквивалентных параметризаций: если f^t непрерывное действие группы R на топологич. пространстве S, то цикл рассматривают как окружность, топологически вложенную в S;если f^t дифференцируемое действие группы R на дифференцируемом многообразии S, то цикл рассматривают как окружность, гладко вложенную в S.

Если х - П. т. (a S - метрич. пространство), то ее a -предельное множество А х и w-предельное множество Wx совпадают с ее траекторией (понимаемой как множество точек). Это свойство в определенной мере выделяет П. т. среди всех точек, не являющихся неподвижными. А именно, если пространство, на к-ром задана динамич. система f^t, является полным метрическим и точка хтакова, что , то х - неподвижная или периодич. точка динамич. системы f^t. Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений. 2 изд., М.Л., 1949. В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985