Математическая энциклопедия - перистое пространство

вполне регулярное хаусдорфово пространство, обладающее оперением в нек-ром своем хаусдорфовом бикомпактном расширении. Оперением подпространства Xтопология, пространства Y в Y наз. счетная система семейств открытых множеств в Y такая, что для каждой точки пересечение ее звезд Stg (х).относительно семейств но всем содержится в X. При этом звезда точки хотносительно семейств множеств g. есть объединение всех элементов семейства g, содержащих х. Если пространство Xобладает оперением в нек-ром своем бикомпактном расширении, то оно имеет оперение и в каждом бикомпактном хаусдорфовом расширении. Если множество Xявляется пересечением убывающей последовательности U1, U2, ... множеств, открытых в объемлющем Xпространстве Y, то система {U1}, {U2},... составляет оперение подпространства X в Y. В частности, если пространство полно по Чеху, т. е. является множеством типа Ga в нек-ром своем бикомпактно хаусдорфовом расширении, то это П. п. Все метрич. пространства являются перистыми. Таким образом, понятие П. п. является одновременным обобщением понятий локально бикомпактного пространства и метрич. пространства. Класс П. п. устойчив относительно операций: произведение (в счетном числе) П. п. является П. п., пери-стость сохраняется при переходах к замкнутому подпространству и к подпространству типа Gd,. Прообраз П. п. при совершенном отображении является П. п. (в классе тихоновских пространств). Предположение пространства перистым обеспечивает его правильное поведение во многих существенных отношениях. Всякое П. п. является k-пространством. Каждое счетное П. п. обладает счетной базой. Более того, если в П. п. есть счетная сеть, то в нем есть и счетная база (и это пространство метризуемо). При непрерывном отображении на П. п. вес не может увеличиваться. Важно, что в присутствии перистости принципиально меняется поведение нек-рых других фундаментальных свойств. В частности, произведение паракомпактных П. п. является паракомпактным П. п., хотя паракомпактность сама по себе не мультипликативна. Далее, произведение финально компактных П. п. является финально компактным П. п., хотя финальная компактность не мультипликативна. Понятие перистости позволило охарактеризовать те пространства, к-рые могут быть совершенно отображены на метрич. пространства. А именно, для того чтобы существовало совершенное отображение тихоновского пространства Xна нек-рое метрич. пространство, необходимо и достаточно, чтобы Xбыло паракомпактным П. п. (теорема Архангельского). Образ паракомпактного П. п. при совершенном отображении является паракомпактным П. п. (теорема Филиппова); однако известен пример совершенного отображения П. п. на неперистое тихоновское пространство. Важными примерами непаракомпактных П. п. служат непаракомпактные локально бикомпактные пространства и неметризуемые моровские пространства тихоновские пространства со счетной измельчающейся последовательностью открытых покрытий. Для пространств топологич. групп из перистости следует паракомпактность. Для групп справедлив простой критерий перистости: пространство топологич. группы является перистым в том и только в том случае, если в нем имеется непустой бикомпакт, обладающий счетной определяющей системой окрестностей (теорема Пасынкова). В присутствии перистости существенно упрощаются критерии метризуемости. В частности, если паракомпактное П. п. X взаимно однозначно и непрерывно отображается на метрич. пространство, то Xметризуемо. На этой основе доказывается, что тихоновское пространство Xметризуемо в том и только в том случае, если оно является паракомпактным П. п. с диагональю типа Gd; последнее условие означает, что множество D= представимо как пересечение счетного семейства открытых в пространстве множеств. Приведенные и другие результаты позволяют считать перистость. одним из основных общих свойств метрич. пространств и бикомпактов наряду с паракомпактностью.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономаре в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] Архангельский А. В., "Матем. сб.", 1965, т. 67, № 1, с. 55-88; [3] Филиппов В. В., "Докл. АН СССР", 1967, т. 176, № 3, с. 533-35; [4] Пасынков Б. А., там же, 1965, т. 161, № 2, с. 281-84. А. В. Архангелъский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985